Hiperbola -
krzywa stożkowa
, będąca
zbiorem
punktów
takich, że
wartość bezwzględna
różnicy
odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.
|
hiperbola |
Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne ( − c,0) i (c,0), to można ją opisać równaniem:
gdzie a jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast b jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek: b2 = c2 − a2.
Jeżeli a = b to hiperbolę nazywamy równoosiową.
Mimośrodem
hiperboli nazywamy stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.
Kierownicami hiperboli nazywamy proste wyrażone równaniami
Obierzmy na hiperboli dowolny punkt P = (x,y), przez r1 oznaczmy odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez r2 odległość pomiędzy punktem P a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:
- dla prawej gałęzi:
- dla lewej gałęzi:
Niech d1 będzie odległością ustalonego punktu P od lewej kierownicy, a d2, odpowiednio, od prawej. Wówczas:
Hiperbolę o równianiu
nazywamy hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne
asymptoty
o równaniach
Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywamy średnicą hiperboli.
Styczna
w punkcie Q = (p,q) hiperboli spełnia równanie
Zobacz też