Chaos deterministyczny - w
matematyce
i
fizyce
, własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle
nieliniowych
równań różniczkowych
i
różnicowych
, opisujących
układy dynamiczne
.
Jeśli takie równanie opisuje zmiany jakiegoś układu w czasie, to niewielkie zaburzenie warunków początkowych powoduje rosnące
wykładniczo
z czasem zmiany w zachowaniu układu. Popularnie nazywane jest to
efektem motyla
- znikoma różnica na jakimś etapie może po dłuższym czasie urosnąć do dowolnie dużych rozmiarów. Powoduje to, że choć model jest
deterministyczny
, w dłuższej skali czasowej wydaje się zachowywać w sposób
losowy
.
Zachowanie takie można zaobserwować w wielu zjawiskach fizycznych, między innymi w zmianach
pogody
, oscylujących
reakcjach chemicznych
, zachowaniu niektórych
obwodów elektrycznych
i ruchu ciał oddziałujących
grawitacyjnie
.
Zachowanie układów chaotycznych
Diagram
bifurkacji
, pokazujący dojście do zachowania chaotycznego.
Ścisłym kryterium chaotyczności jest określenie wartości
wykładników Lapunowa
. Układ jest chaotyczny, jeśli ma co najmniej jeden dodatni wykładnik Lapunowa. W takim wypadku w
przestrzeni fazowej
blisko leżące
trajektorie
mogą po pewnym czasie dowolnie się od siebie oddalić. Choć dla idealnie dokładnie zadanych parametrów początkowych jesteśmy w stanie dokładnie przewidzieć zachowanie się układu, w praktyce, gdzie warunki początkowe znane są zawsze ze skończoną dokładnością, w krótkim czasie układ staje się nieprzewidywalny.
Szczególną cechą układów chaotycznych jest tzw. mieszanie topologiczne. Oznacza ono, że jeśli weźmiemy dowolny region (
zbiór otwarty
) w przestrzeni fazowej układu, to w miarę jego ewolucji w czasie pokryje się on częściowo z dowolnym innym wybranym regionem.
Warto nadmienić, że niektóre równania i układy liniowe posiadają także rozwiązania niestabilne. Tym samym niestabilność rozwiązań jest własnością słabszą niż chaotyczność. W przypadkach liniowych niestabilność dotyczy jednak jedynie specjalnie dobranych warunków początkowych. Układ jest uważany za chaotyczny, gdy niestabilność dotyczy prawie wszystkich warunków początkowych (formalnie zestawy tych warunków tworzą
zbiór gęsty
).
Dowiedzenie, że dany, konkretny układ równań jest chaotyczny dla pewnych wartości parametrów modelu, jest na ogół procesem złożonym. Dlatego niewłaściwe jest nazywanie chaotycznym każdego układu przejawiającego skomplikowane zachowania. Przykładami układów mylnie nazywanych chaotycznymi są
turbulencje
i zachowanie
giełdy
. Nie udowodniono chaotyczności dla pełnego układu
równań Naviera-Stokesa
, a dla zachowania giełdy nie znamy nawet równań różnicowych czy różniczkowych, opisujących ją w zadowalający sposób. Tym samym nie potrafimy się wypowiedzieć o chaotyczności ich rozwiązań.
Atraktory
Niektóre układy dynamiczne są chaotyczne wszędzie, ale w większości wypadków takie zachowanie dotyczy jedynie pewnego podzbioru przestrzeni fazowej. Najbardziej interesujący przypadek zachodzi, gdy chaotyczność dotyczy jakiegoś
atraktora
, gdyż trajektorie z całego jego obszaru przyciągania mają tę własność.
Atraktory w układach liniowych są zwykle punktami lub okręgami. W układach chaotycznych pojawiają się
dziwne atraktory
– o bardzo złożonej budowie, często
fraktalnej
. Jednym z najsłynniejszych przykładów jest trójwymiarowy
atraktor Lorenza
, przypominający kształtem motyla.
W celu badania własności chaosu rozwinięto wiele technik w zakresie analizy równań różniczkowych oraz wykorzystano w nowy sposób wiele istniejących narzędzi matematycznych. Na potrzeby symulacji komputerowych dla układów chaotycznych korzysta się z przekrojów Poincarégo, umożliwiających zmniejszenie wymiaru przestrzeni fazowej. Następnie z własności tych przekrojów wnioskuje się na temat własności pełnej przestrzeni fazowej rozwiązań.
Historia
Pierwsze odkrycia dotyczące chaosu można przypisać
Hadamardowi
, który opublikował w
1898
roku pracę dotyczącą bil poruszających się bez tarcia po powierzchni o ujemnej krzywiźnie. Hadamard pokazał, że w takich warunkach wszystkie trajektorie są niestabilne w tym sensie, że oddalają się od siebie wykładniczo, z dodatnim wykładnikiem Lapunowa.
Na początku XX wieku
Henri Poincaré
pokazał, że w
problemie n-ciał
istnieją orbity, które są aperiodyczne, ale nie są zbieżne ani rozbieżne. Problem ten był badany w kolejnych latach przez wielu matematyków i fizyków. Efektem tych prac było pokazanie podobnego zachowania dla wielu układów, takich jak turbulentne przepływy i oscylacje w obwodach elektrycznych. Zbudowanie teorii opisującej te zjawiska wymagało jednak dopiero zastosowania symulacji komputerowych.
Pionierem teorii chaosu stał się
Edward Lorenz
, który w
1961
przeprowadzał numeryczne analizy zjawisk pogodowych. Symulowany przez niego układ opisywał własności ogrzewanej, prostokątnej komórki gazowej. Składał się z pięciu równań różniczkowych nieliniowych, będących ograniczoną wersją
równań Naviera-Stokesa
. Lorenz, chcąc uprościć obliczenia przerwane błędem sprzętowym, zamiast przeprowadzać je od początku, rozpoczął kontynuację symulacji od wyników pośrednich uzyskanych przed momentem awarii. Jak zauważył pod koniec, otrzymane wyniki w znaczny sposób odbiegały od symulacji przeprowadzonych od początku do końca. Okazało się to skutkiem zaokrąglenia wprowadzanych ręcznie wyników. Równania okazały się zaskakująco czułe na niewielką zmianę warunków początkowych.
Przykłady układów chaotycznych
Powiązane zagadnienia
Istnieją przykłady układów przejawiających skomplikowane zachowanie, których chaotyczność nie została do tej pory udowodniona. Przykładami takich układów są:
-
turbulencja
- nie wiadomo nawet, czy istnieją globalne rozwiązania takiego równania, brak informacji o wykładnikach Lapunowa;
-
giełda
- brak równań opisujących wartości notowań giełdowych. W szczególności nie wiadomo, czy proces taki da się modelować równaniami deterministycznymi (a nie np. stochastycznymi);
-
ewolucja
- jej rozmaite modele są szeroko badane w ramach różnych technik i dziedzin, np. podczas analizy tzw. procesów gałązkowych w teorii
procesów stochastycznych
lub jako modele ewolucyjne opisujące strategie w prostych układach typu drapieżnik-ofiara.
Zobacz też