Układ dynamiczny, model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu . Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w automatyce .

Układ z pamięcią - zachowanie układu zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznych

Gładkie (pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

X - zbiór z pewną strukturą różniczkowalną

(T_t) - rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych ( dyfeomorfizmów ) spełniających warunek

Topologiczne (dziedzina - dynamika topologiczna)

Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz niech będzie odwzorowaniem. Parę nazywamy układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich oraz zachodzą warunki:

,

oraz jest odwzorowaniem ciągłym .

Interpretacja

Interpretecja tej definicji może być nastepująca:

Przestrzeń jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych reprezentuje oś czasu. Punkt jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu , jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili w stanie . Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

Teoriomiarowe (dziedzina - teoria ergodyczna)

- przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna ), - odwzorowanie mierzalne o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. μ(B) = μ(T ^{− 1}B) dla .

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza^{[1][2][3] [4][5]} oraz przesunięcie w lewo dla układu Bernoulliego, albo np. dla .

Przypisy