Zbiór Mandelbrota (żuk Mandelbrota) - podzbiór
płaszczyzny zespolonej
, którego
brzeg
jest jednym ze sławniejszych
fraktali
. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, francuskiego matematyka
Benoit Mandelbrota
.
Przybliżone samopodobieństwo zbioru Mandelbrota
Konstrukcja
Zbiór tworzą te punkty 
dla których ciąg opisany równaniem
rekurencyjnym
:
nie dąży do nieskończoności:
Można wykazać, że jest to równoważne z:
Podsumowując jednym zdaniem:
Alternatywnie zbiór Mandelbrota definiuje się jako punkty, które w rodzinie
zbiorów Julii
dają zbiory spójne.
Obrazy przybliżone
Przybliżony (128 pierwszych wyrazów ciągu) obraz zbioru (czarny)
Dokładniejszy obraz (2048 pierwszych wyrazów ciągu)
Za pomocą
komputera
można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota. Obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki.
Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu p oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu zn. Decyduje się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek | zn | < 2. Jest to tym samym obraz przybliżony. Okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach.
Zbiór
Mandelbrota zawiera się (jest
podzbiorem
) każdego przybliżenia. Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę m:
Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu zn, które spełniają powyższy warunek. Ponieważ podczas wyznaczania obrazu przybliżonego liczba m jest uzyskiwana niejako "za darmo", często wykorzystuje się ją do zabarwiania punktów nie należących do zbioru Mandelbrota. Każdej z wartości m przyporządkowuje się pewien kolor.
Brzeg składowych zbioru Mandelbrota dla okresów 1-6
Punkty centralne składowych zbioru Mandelbrota dla okresów 1-8
Zobacz też
Linki zewnętrzne
