Diagram Eulera: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru , czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Definicja

Niech A,B będą zbiorami. Jeżeli każdy element jest jednocześnie elementem B, to zbiór A nazywa się podzbiorem zbioru B. W zapisie logicznym:

,

inaczej fakt ten można wyrazić jako

.

Jeżeli A jest podzbiorem B, to sam zbiór B nazywa się nadzbiorem zbioru A i oznacza .

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru B należy do A, to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór A zbioru B nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc . W przeciwnym wypadku, czyli gdy oraz , zbiór A nazywa się podzbiorem właściwym zbioru B i oznacza . Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Zapis

W starszych pozycjach do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole oraz , a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków i na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości) pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych^[1]. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli i nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole i na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Zawieranie

Dla dowolnego zbioru K prawdziwe jest zdanie:

• zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru ( element najmniejszy ),

  .

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów K,L,M zachodzą następujące fakty:

• dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem ( zwrotność ),

  ,

• zbiory, które są swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe ( antysymetria ),

  ,

• podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru ( przechodniość ),

  .

Relacja jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym . Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją. Dlatego też dla danych zbiorów A,B pozostających z sobą w relacji mówi się obok „A jest podzbiorem B”, że A zawiera się bądź jest zawarty w B. Analogiczne wyrażenie obok „B jest nadzbiorem A” czyta się B zawiera A.

Relacja ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściwe

Podobnie rzecz ma się z relacjami oraz , które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również są relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów K,L,M:

• żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem ( przeciwzwrotność ),

  ,

• podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru ( przechodniość ),

  .

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

• podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym ( przeciwsymetria ),

  .

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

Przykłady

• zbiór {1,3,4} jest podzbiorem (właściwym) zbioru {1,2,3,4},
• zbiór {1,2,3,4} zawiera się w {1,2,3,4},
• zbiór {1,2,4,5} nie jest podzbiorem zbioru {1,2,3,4},
• zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych , ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
• zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych ,
• zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów , zawiera się również w zbiorze prostokątów , jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Przypisy

Zobacz też

• ,
• teoria mnogości ,
• włożenie.