Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu
odcinków
lub
kątów
spełniających dane warunki jedynie przy pomocy
cyrkla
i
linijki
bez podziałki.
Zasady konstrukcji
Możliwe operacje przy konstrukcjach klasycznych
Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane:
- dwie proste
- prostą i okrąg
- dwa okręgi
można znaleźć ich punkty wspólne, lub stwierdzić że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone.
Słynne problemy starożytności
Trzy słynne problemy starożytnej matematyki greckiej:
trysekcja kąta
(podział danego kąta na trzy równe części),
podwojenie sześcianu
(wyznaczenie boku
sześcianu
o objętości dwa razy większej niż sześcian dany) i
kwadratura koła
(konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła) nie mogą być rozwiązane przy pomocy cyrkla i linijki, ale dowód tego podany został dopiero w roku
1837
przez
Pierre Wantzela
i jest wnioskiem z
twierdzenia
noszącego dziś jego imię. Konstrukcje te mogą być jednak rozwiązane w przybliżeniu z dowolną założoną dokładnością.
Konstrukcje samą linijką
Jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien
okrąg
wraz ze środkiem. (
twierdzenie Ponceleta-Steinera
).
Konstrukcje samym cyrklem
Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. (
twierdzenie Mohra-Mascheroniego
)
Zobacz też