Ciąg geometryczny - co najmniej trójelementowy ciąg liczbowy skończony bądź nieskończony, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej liczby różnej od zera, którą nazywa się ilorazem ciągu.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (dla ciągów skończonych także ostatniego) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich. Ciąg geometryczny nazywany jest też (choć coraz rzadziej) postępem geometrycznym.

Definicja i przykłady

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli dla pewnej liczby różnej od zera zachodzi warunek:

Liczbę nazywamy wówczas ilorazem ciągu geometrycznego .

Przykłady

• Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie natomiast
• ciąg nie jest ciągiem geometrycznym , lecz

Własności

1. Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat środkowej jest iloczynem dwóch skrajnych tzn. gdy:

2. Zależność pomiędzy sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego:

3. Wzór na dowolny wyraz ciągu:

4. Wzór na sumę n pierwszych, a zarazem kolejnych wyrazów ciągu:

gdzie:

• - suma n wyrazów ciągu
• - pierwszy wyraz ciągu
• - iloraz ciągu

5. Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny . W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest dodatni oraz:

• iloraz jest większy od 1 - wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo ,
• iloraz jest mniejszy od 1 - wyrazy maleją wykładniczo,
• iloraz jest równy 1 - ciąg jest stały.

6. Ciąg geometryczny o ilorazie większym od -1 i mniejszym od 1 jest zbieżny do zera, równym 1 - zbieżny do liczby równej jego wyrazom, większym od 1 - rozbieżny o granicy w , a mniejszym niż -1 - rozbieżny bez granicy.

Zobacz też

• ciąg arytmetyczny
• ciąg
• szereg geometryczny