Ciąg arytmetyczny – ciąg liczbowy , w którym każdy wyraz można otrzymać dodając wyraz bezpośrednio go poprzedzający oraz ustaloną liczbę, zwaną różnicą ciągu. Zwykle mówiąc o ciągu arytmetycznym zakładamy, iż jego wyrazy są liczbami rzeczywistymi , choć sporadycznie rozważa się również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych .

Ciąg arytmetyczny nazywamy też (już coraz rzadziej) postępem arytmetycznym.

Definicja i przykłady

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

.

Równoważnie, jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy gdy

dla wszystkich naturalnych .

Przykłady

• ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny (jego różnicą jest 2), natomiast
• ciąg: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (3-1=2, lecz 4-3=1).

Każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym, gdyż różnica takiego ciągu wynosi 0.

Własności

• Ciąg arytmetyczny o różnicy ma następujący wzór ogólny:

• Zatem, aby wyznaczyć pierwszy wyraz a₁ ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę r wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
• Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:

• Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznego

Suma S_n początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i n-tego pomnożona przez liczbę wyrazów n:

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber Abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat^[1].

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

oraz

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

a stąd

i

2S_n = n(2a₁ + (n − 1)d)

Pamiętając, że a_n = a₁ + (n − 1)d, powyższą równość możemy przekształcić do:

.

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową y=ax+b. Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów x różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty x będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego a.

Dowód:

f(x) = ax + b.

f(x + 1) = a(x + 1) + b = ax + a + b

r = f(x + 1) − f(x) = (ax + a + b) − (ax + b) = a

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej (r=a).

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej y=ax+b dla kolejnych naturalnych x:

a₁ = f(1)

a₂ = f(2)

a₃ = f(3)

...

a_n = f(n)

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

Korzystając z tej własności można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

Zobacz też

• ciąg
• ciąg geometryczny
• ciąg harmoniczny

Przypisy