Ciąg arytmetyczny –
ciąg liczbowy
, w którym każdy wyraz można otrzymać dodając wyraz bezpośrednio go poprzedzający oraz ustaloną liczbę, zwaną różnicą ciągu. Zwykle mówiąc o ciągu arytmetycznym zakładamy, iż jego wyrazy są
liczbami rzeczywistymi
, choć sporadycznie rozważa się również ciągi arytmetyczne o wyrazach
zespolonych
.
Ciąg arytmetyczny nazywamy też (już coraz rzadziej) postępem arytmetycznym.
Definicja i przykłady
Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi
- .
Równoważnie, jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy gdy
- dla wszystkich
naturalnych
.
- Przykłady
- ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny (jego różnicą jest 2), natomiast
- ciąg: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (3-1=2, lecz 4-3=1).
Każdy
ciąg stały
jest ciągiem arytmetycznym, gdyż różnica takiego ciągu wynosi 0.
Własności
- Ciąg arytmetyczny o różnicy ma następujący wzór ogólny:
- Zatem, aby wyznaczyć pierwszy wyraz a1 ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę r wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
- Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest
średnią arytmetyczną
dwóch skrajnych:
- Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze
ciągiem monotonicznym
- rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.
Suma skończonego ciągu arytmetycznego
Suma
Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa
średniej arytmetycznej
wyrazów pierwszego i n-tego pomnożona przez liczbę wyrazów n:
Formuła zbliżona do powyższej była podana w
1202
przez
Leonarda z Pizy
w jego dziele
Liber Abaci
(rozdział II.12). Często jest powtarzana historia według której
Carl Friedrich Gauss
miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat[1].
- Dowód wzoru
Wyraźmy sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:
- oraz
(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).
Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy
a stąd
i
- 2Sn = n(2a1 + (n − 1)d)
Pamiętając, że an = a1 + (n − 1)d, powyższą równość możemy przekształcić do:
- .
Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową
Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a
funkcją liniową
y=ax+b. Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów x różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty x będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego a.
Dowód:
- f(x) = ax + b.
- f(x + 1) = a(x + 1) + b = ax + a + b
- r = f(x + 1) − f(x) = (ax + a + b) − (ax + b) = a
Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej (r=a).
Czyli ciąg wartości
funkcji liniowej
y=ax+b dla kolejnych naturalnych x:
- a1 = f(1)
- a2 = f(2)
- a3 = f(3)
- ...
- an = f(n)
będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym
Korzystając z tej własności można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:
Zobacz też
Przypisy
- ↑
MacTutor
podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz
[1]
, natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek.