Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć
algebry liniowej
i powiązanych z nią działów
matematyki
. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście
przestrzeni liniowych
nad
ciałem
z uogólnieniami na końcu artykułu.
Definicja
Niech będą elementami
przestrzeni liniowej
V nad pewnym
ciałem
, a będą elementami tego ciała. W dalszej części elementy należące do V nazywane będą często wektorami, a elementy ciała K będą zwane nieraz skalarami.
Kombinacją liniową wektorów o współczynnikach nazywa się wektor
Uwaga
Z definicji wynika, że pojęcie kombinacji liniowej ma skończony charakter, tzn. kombinacja liniowa zawiera tylko
skończenie
wiele wektorów (poza przypadkami opisanymi w sekcji Uogólnienia).
Jednakże sam zbiór S, z którego brane są wektory (o ile został wspomniany), może być
nieskończony
; każda kombinacja liniowa z osobna składać się będzie ze skończenie wielu wektorów. Nie ma także powodów, aby n nie mogło być
zerem
; w tym wypadku przyjmuje się, że wtedy kombinacją liniową jest
wektor zerowy
w V.
Przykłady
Wektory
Niech K będzie ciałem
liczb rzeczywistych
, a przestrzeń liniowa V będzie
przestrzenią euklidesową
Rozpatrzmy wektory
- oraz
Wówczas dowolny wektor z jest kombinacją liniową wektorów
Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor (a1,a2,a3) z wtedy:
Funkcje
Niech V będzie przestrzenią
rzeczywistych
funkcji ciągłych
o wartościach
zespolonych
Rozważmy wektory (funkcje) f,g określone wzorami
gdzie e jest
postawą logarytmu naturalnego
, a i to
jednostka urojona
.
Niektóre z kombinacji liniowych f oraz g:
- 2sint = − ieit + ie − it.
Z drugiej strony
funkcja stała
równa 3 nie jest kombinacją liniową f i g. Aby się o tym przekonać, należy założyć, że 3 może być zapisane jako kombinacja liniowa eit oraz e − it. Oznacza to, że istniałyby wówczas skalary zespolone a,b takie, że
- aeit − be − it = 3
dla wszystkich liczb rzeczywistych t. Podstawienia t = 0 i t = π dają jednak równania a + b = 3 oraz a + b = − 3, co prowadzi do sprzeczności.
Wielomiany
Niech K będzie dowolnym ciałem, a V będzie zbiorem P wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany)
Czy wielomian x2 − 1 jest kombinacją liniową p1,p2,p3? Rozpatrzmy dowolną kombinację liniową tych wektorów i sprawdźmy, kiedy równa się ona żądanemu wektorowi x2 − 1.
Wybrawszy dowolnie współczynniki a1,a2,a3 chcemy uzyskać
- a1(1) + a2(x + 1) + a3(x2 + x + 1) = x2 − 1,
wymnożenie wielomianów daje równość
- (a1) + (a2x + a2) + (a3x2 + a3x + a3) = x2 − 1,
zaś zgrupowanie wg potęg x daje tożsamość
- a3x2 + (a2 + a3)x + (a1 + a2 + a3) = 1x2 + 0x + ( − 1).
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc
Jedynym rozwiązaniem tego
układu równań liniowych
jest trójka
Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników. Rzeczywiście,
- x2 − 1 = − 1 − (x + 1) + (x2 + x + 1) = − p1 − p2 + p3,
a więc x2 − 1 jest kombinacją liniową wektorów p1,p2,p3.
Co zaś z wielomianem x3 − 1? Chcąc uzyskać ten wektor jako kombinację liniową p1,p2,p3 należy powtórzyć powyższe rozumowanie otrzymując tym samym równanie
- 0x3 + a3x2 + (a2 + a3)x + (a1 + a2 + a3) = 1x3 + 0x2 + 0x + ( − 1).
W tym przypadku przyrównanie odpowiadających sobie współczynników da zawsze fałszywą równość
- 0 = 1.
Stąd nie można przedstawić x3 − 1 jako kombinacji liniowej wektorów p1,p2,p3.
Powłoka liniowa
Dla danego ciała K oraz przestrzeni liniowej V niech będą wektorami (z V). Interesujące może być rozpatrywanie wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów. Zbiór ten nazywa się powłoką liniową lub otoczką liniową tych wektorów. Niech wówczas powłokę liniową S oznacza się lub
Wyżej opisany zbiór jest najmniejszą (w sensie zawierania)
podprzestrzenią liniową
w V. Z tego powodu nazywa się ją także podprzestrzenią generowaną przez zbiór S lub rozpiętą na zbiorze S. Sam zbiór S nazywa się też niekiedy zbiorem rozpinającym lub generującym tę przestrzeń.
Liniowa niezależność
Dla ustalonego zbioru wektorów dany wektor można czasem zapisać na co najmniej dwa różne sposoby jako ich kombinację liniową
Równoważnie odejmując współczynniki, ci: = ai − bi, uzyskuje się nietrywialną kombinację o sumie zerowej:
Mówi się wtedy, że wektory są liniowo zależne, w przeciwnym wypadku nazywa się je liniowo niezależnymi. Podobnie można mówić o liniowej zależności bądź niezależności dowolnego zbioru wektorów S.
Jeżeli S jest układem wektorów liniowo niezależnych i rozpina całą przestrzeń V, to nazywa się go
bazą
tej przestrzeni.
Kombinacje afiniczne, stożkowe i wypukłe
Można zdefiniować inne powiązane z kombinacją liniową pojęcia poprzez narzucenie ograniczeń na współczynniki kombinacji liniowej: kombinację afiniczną, kombinację stożkową, kombinację wypukłą i związane z nimi pojęcia zbiorów zamkniętych ze względu na te operacje.
Ponieważ powyższe są działaniami bardziej ograniczającymi, to dawać będą one więcej zbiorów zamkniętych ze względu na nie, stąd podzbiory afiniczne, stożki wypukłe i zbiory wypukłe są uogólnieniami podprzestrzeni liniowych: podprzestrzeń liniowa jest zarazem podprzestrzenią afiniczną, stożkiem afinicznym i zbiorem wypukłym, ale zbiór wypukły nie musi być podprzestrzenią liniową, afiniczną lub stożkiem wypukłym.
Pojęcia te pojawiają się często, jeżeli możliwe jest wybranie określonej, lecz nie dowolnej, kombinacji liniowej obiektów: przykładowo
rozkłady prawdopodobieństwa
są zamknięte ze względu na kombinacje wypukłe (tworzą zbiór wypukły), ale nie są ze względu na kombinacje stożkowe, czy afiniczne (czy liniowe), a
miary dodatnie
są zamknięte ze względu na kombinacje stożkowe, ale nie kombinacje afiniczne, czy liniowe – stąd miary ze znakiem definiuje się jako liniowe domknięcie.
Kombinacje liniowe i afiniczne mogą być zdefiniowane nad dowolnym ciałem (czy pierścieniem), ale kombinacje stożkowe i wypukłe wymagają pojęcia „dodatniości” i dlatego mogą być zdefiniowane tylko nad
ciałem uporządkowanym
(lub
pierścieniem uporządkowanym
), zwykle nad liczbami rzeczywistymi.
Jeżeli dopuści się wyłącznie
mnożenie przez skalar
, lecz nie dodawanie wektorów, otrzymuje się (niekoniecznie wypukły) stożek; często zawęża się definicję poprzez ograniczenie do mnożenia przez skalary dodatnie.
Wszystkie te pojęcia są zwykle definiowane jako podzbiory danej przestrzeni liniowej (za wyjątkiem
przestrzeni afinicznych
, które uważa się za „przestrzenie liniowe bez początku”), a nie poprzez ich niezależną aksjomatyzację.
Teoria operadów
W bardziej abstrakcyjnym języku teorii operadów można rozważać przestrzenie liniowe jako algebrę nad operadem (nieskończona suma prosta, w której tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych; odpowiada to braniu wyłącznie sum skończonych), które parametryzują kombinacje liniowe: wektor odpowiada na przykład kombinacji liniowej W podobny sposób można rozpatrywać kombinacje afiniczne, stożkowe, czy sferyczne tak, by odpowiadały podoperadom, których odpowiednio suma współczynników wynosi jeden, wszystkie współczynniki są nieujemne oraz oba te ograniczenia na raz. Graficznie tworzą one nieskończoną hiperpłaszczyznę afiniczną, nieskończony hiperoktant i nieskończony sympleks. Formalizuje to, co rozumie się przez standardowe modele czy sympleksów i takie obserwacje jak każda ograniczona wielokomórka wypukła jest obrazem sympleksu. Podoperady odpowiadają tu bardziej ograniczającym operacjom, a przez to ogólniejszym teoriom.
Z tego punktu widzenia o kombinacjach liniowych można myśleć jako o najogólniejszych możliwych operacjach na przestrzeni liniowej – stwierdzenie, iż przestrzeń liniowa jest algebrą nad operadem kombinacji liniowych jest dokładnie tym samym, co stwierdzenie, że kombinacje liniowe obejmują wszystkie możliwe operacje na przestrzeni liniowej.
Podstawowe operacje dodawania i mnożenia przez skalar, wraz z istnieniem elementu neutralnego i odwrotnych dodawania, nie mogą być połączone w bardziej skomplikowany sposób niż w zwykłej kombinacji liniowej: wspomniane podstawowe operacje są
zbiorem generującym
operadów wszystkich kombinacji liniowych.
Ostatecznie fakt ten tłumaczy użyteczność kombinacji liniowych podczas studiowania przestrzeni liniowych.
Uogólnienia
Jeżeli V jest
przestrzenią liniowo-topologiczną
, to być może istnieje sposób na sensowne określenie nieskończonych kombinacji liniowych za pomocą topologii w V. Przykładowo, być może można mówić o sumie
ciągnącej się w nieskończoność. Nie zawsze takie nieskończone kombinacje liniowe mają sens; jednakże jeżeli tak jest, to nazywa się je zbieżnymi. Rozpatrywanie większej liczby kombinacji liniowych może prowadzić w tym przypadku do różnych definicji powłoki liniowej, liniowej niezależności i bazy. Artykuły opisujące przestrzenie liniowo-topologiczne traktują o nich bardziej szczegółowo.
Jeżeli K jest
pierścieniem przemiennym
, nie zaś ciałem, to wszystko, co zostało napisane wyżej, uogólnia się do tego przypadku bez żadnych zmian. Jedyną różnicą jest, iż przestrzenie V nazywa się wtedy
modułami
, a nie przestrzeniami liniowymi. Każdą
grupę abelową
można w naturalny sposób rozpatrywać jako moduł nad
pierścieniem liczb całkowitych
; prowadzi to do pojęć takich jak
(liniowa) niezależność
oraz
ranga
rozpatrywanych w tych grupach.
Jeżeli K jest
pierścieniem
nieprzemiennym, to pojęcie to nadal uogólnia się w analogiczny sposób z jednym zastrzeżeniem: moduły nad pierścieniami nieprzemiennymi mogą być lewostronne bądź prawostronne, zatem istnieją tak lewo- jak i prawostronne kombinacje liniowe – zależnie od rozpatrywanego modułu – należy zatem zwracać uwagę na branie mnożenia skalarnego z właściwej strony.
Bardziej złożony jest przypadek, gdy V jest bimodułem nad dwoma pierścieniami KL oraz KP. W tym wypadku najogólniejsza kombinacja liniowa ma postać
gdzie należą do KL, a należą do KP, zaś należą do V.
Zobacz też