Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie
PrezentacjaForumPrezentacja nieoficjalnaZmiana prezentacji
Garść refleksji na temat edukacji arytmetycznej oraz rozwoju pojęcia liczby i liczby niewymiernej

Od 01.01.2015 odwiedzono tę wizytówkę 916 razy.
Chcesz zwiększyć zainteresowanie Twoją jednostką?
Zaprezentuj w naszym informatorze swoją jednostkę ->>>
* szkolnictwo.pl - najpopularniejszy informator edukacyjny - 1,5 mln użytkowników miesięcznie



Platforma Edukacyjna - gotowe opracowania lekcji oraz testów.



 

 

Edukację matematyczną człowieka zaczyna się od arytmetyki, która jest najstarszą dyscypliną matematyczną. Przyswojenie przez ucznia elementarnej wiedzy teoretycznej z zakresu arytmetyki oraz nabranie umiejętności wykonywania działań arytmetycznych zawsze było i jest warunkiem skuteczności jego dalszej matematycznej edukacji. Edukacja arytmetyczna ucznia nie może być jednak celem samym w sobie. Nabywając biegłości w rachowaniu na coraz szerszym zbiorze liczbowym uczeń musi również zdawać sobie sprawę, że arytmetyzacja jest najprostszym sposobem konstruowania matematycznych modeli zdarzeń zachodzących w świecie natury oraz w świecie celowo kreowanym przez człowieka (społecznym, gospodarczym, politycznym itp.). Musi rozumieć, że charakteryzując jakikolwiek przedmiot lub jakiekolwiek zdarzenie za pomocą liczby lub liczb faktycznie konstruuje ich najprostszy model matematyczny, a wykonując działania na liczbach posługuje się mniej lub bardziej złożonym algorytmem matematycznym. Musi sobie uzmysłowić potrzebę uczenia się matematyki choćby z tego tylko powodu, że posługiwanie się nawet najprostszymi modelami matematycznymi będzie dla niego użyteczne zarówno z osobistego, jak i społecznego punktu widzenia. Musi też wiedzieć - bo to ubogaci go wewnętrznie - że chociaż w sytuacjach dnia codziennego człowiek posługuje się rachunkiem na liczbach wymiernych, to jednak faktycznie żyje i obraca się w świecie niewymierności. Musi pojąć, że coraz większa dostępność do środków informatyki nie tylko nie zwalnia go z obowiązku zdobycia co najmniej podstawowej wiedzy matematycznej, ale wręcz zmusza do jej opanowania. Racjonalnym użytkownikiem techniki i technologii informatycznych może być bowiem tylko człowiek rozumiejący, w jakich czynnościach matematycznych i w jakim zakresie mogą go one wyręczyć oraz czy i kiedy warto z nich skorzystać.

W uprzytomnieniu sobie związków matematyki z przedmiotami przyrodniczymi i informatyką może uczniowi pomóc wyjaśnienie znaczenia i roli pojęcia liczby w rozwoju cywilizacyjnym ludzkości. Uczeń powinien wiedzieć, że chociaż liczba jest podstawowym pojęciem matematycznym, które wyrosło z właściwej człowiekowi potrzeby wyrażania ilości i kształtowało się wraz z jego rozwojem cywilizacyjnym i kulturalnym jest liczba, to jednak na pytanie, czym właściwie jest liczba, nie znaleziono dotychczas jednoznacznie rozstrzygającej odpowiedzi. Jest to bowiem problem nie tylko natury matematycznej, ale i filozoficznej. Idea liczby sięga prahistorii człowieka i niewątpliwie jest pochodną uświadomienia sobie przez istotę ludzką jedyności i niepowtarzalności swojego istnienia i współistnienia z innymi, z bycia jednością w wielości i niepowtarzalnością w różnorodności.

Najstarsze udokumentowane wiadomości arytmetyczne pochodzą ze źródeł sumeryjskich z około 3000 lat p.n.e., oraz ze źródeł egipskich (papirus moskiewski - XIX w. p.n.e. oraz papirus Rhinda - XVII w. p.n.e.). Ówczesna arytmetyka nie miała charakteru dedukcyjnego, lecz stanowiła zbiór heurystycznych reguł wykonywania obliczeń. Teoretyczne prace w zakresie arytmetyki rozpoczęli dopiero w VI w. p.n.e. tzw. pitagorejczycy, tj. grupa ówczesnych greckich uczonych skupionych wokół osoby Pitagorasa i uznających jego koncepcje matematyczno-filozoficzne.

Dla pitagorejczyków liczba była zbiorem jednostek traktowanych jako punkty, wielkością przestrzenną, formą materii, podstawową siłą działającą w przyrodzie i pierwiastkiem wszelkiego bytu. Co więcej, cały świat był harmonią i liczbą. Wedle Platona (ok. 437-347 p.n.e.), którego filozofia opierała się na podziale rzeczywistości na realny świat idei oraz świat zjawisk, liczby i wszystkie inne byty matematyczne należą do świata idei. Arystoteles (384-322 p.n.e.), zwany ojcem nauki, odrzucił istnienie platońskiego świata idei, a wszelkie byty matematyczne potraktował jako wynik matematycznej abstrakcji. Koncepcja ta weszła na trwałe do matematyki i filozofii. Przypomniał ją Newton (1642-1727) stwierdzając, że liczba nie jest jedynie zbiorem cyfr, ale abstrakcyjną relacją zachodzącą między dwiema wielkościami tego samego rodzaju, z których jedna jest przyjęta za jedynkę (jednostkę). Newton wyróżnił trzy rodzaje liczb: całkowite (tj. będące krotnościami jedynki), ułamkowe (tj. będące krotnościami części jedynki) i niewymierne (tj. nie mające wspólnej miary z jedynką).

Uczeń powinien dowiedzieć się o tym w taki sposób, by nie nabrać fałszywego przekonania, że pojęcie liczby niewymiernej zostało wprowadzone przez Newtona (Europejczyka), bowiem udokumentowana historia powstania i rozwoju tego pojęcia liczy już co najmniej 3500 lat.

Wiedza matematyczno-przyrodnicza uczniów nie jest na ogół osadzana w kontekście historycznym. Jest to poważną skazą współczesnych systemów edukacyjnych. Uczniowie nie wiedzą, że matematyka, której się uczą, jest syntezą wiedzy matematycznej wielu cywilizacji i kręgów kulturowych, jakie istniały lub istnieją na globie ziemskim i stanowi dorobek duchowy całej ludzkości. Co gorsza, kojarząc matematykę niemal wyłącznie z nazwiskami Pitagorasa, Talesa, Euklidesa i innych wielkich matematyków i filozofów starożytnej Grecji wyrabiają sobie i utrwalają eurocentryczny pogląd, że źródeł współczesnej matematyki trzeba upatrywać w cywilizacji greckiej. Tymczasem korzenie dzisiejszej matematyki sięgają znacznie głębiej w czasie i tkwią w różnych cywilizacjach i kręgach kulturowych, jakie istniały na naszym globie. Nie sposób scharakteryzować w tej pracy choćby tylko najważniejsze z nich. Ograniczymy się więc do kręgów cywilizacji europejskiej i mezopotamskiej. Trzeba bowiem pamiętać, że chociaż terytorium Grecji i wyspy Morza Egejskiego zostały zasiedlone mniej więcej 3000 lat p.n.e., to dopiero około pięć wieków później zaczęła kształtować się właściwa cywilizacja grecka, której rozkwit zaczął się od około VIII w. p.n.e. Grecy przyswoili sobie wiele osiągnięć matematycznych dużo wcześniejszej cywilizacji sumeryjsko-akkadyjskiej, która od IV tysiąclecia p.n.e. rozwijała się w dorzeczu Eufratu i Tygrysu (Mezopotamia), a której głównymi ośrodkami były miasta-państwa Ur (obecnie Tall-al-Mukajjar), Eridu (obecnie Abu Szahrajn), Lagasz (obecnie Tello) i Nippur (obecnie Niffar). Wszystkie te miasta leżą na terytorium dzisiejszego Iraku. Kiedy w końcu III tysiąclecia p.n.e. na terytorium Mezopotamii przybyły plemiona Amorytów, utworzyły wraz z tubylczą ludnością państwa Asyrię i Babilonię. Trudno dokładnie ustalić, kto i kiedy odkrył istnienie liczb niewymiernych. Wiadomo jednak, że fakt ten był już znany matematykom babilońskim z czasów pierwszego cesarstwa babilońskiego (ok. 1900-1650 p.n.e.), którego głównym ośrodkiem administracji, nauki i kultury był Babilon. Babilończycy przejęli od poprzedzających ich na tych terenach Sumerów i Akkadów sześćdziesiątkowy system liczbowy, metody konstruowania tablic mnożenia i dzielenia oraz wykonywania innych operacji matematycznych, a także stworzyli początki algebry i geometrii. Około 1600 r. p.n.e. cesarstwo babilońskie zostało podbite przez Hetytów i było przez nich okupowane przez prawie osiem stuleci. Babilon wciąż jednak pozostawał głównym centrum administracji, nauki i kultury. Trwało to aż do 885 r. p.n.e., w którym państwo Hetytów zostało podbite i zniewolone przez Asyryjczyków. W czasie okupacji asyryjskiej, która trwała do 612 r. p.n.e., znaczenie Babilonu podupadło, a funkcje centralnego ośrodka kraju przejęła stolica Asyrii, Niniwa. Na okres hetyckiej i asyryjskiej okupacji pierwszego cesarstwa babilońskiego przypada duży rozkwit astronomii. Bez mała tysiącletnia okupacja pierwszego cesarstwa babilońskiego zakończyła się w 612 r. p.n.e., powstaniem drugiego cesarstwa babilońskiego (chaldejskiego). W drugim cesarstwie Babilon odzyskał dawne znaczenie i świetność. Nastąpiło ponowne ożywienie badań w zakresie algebry. W 539 r. drugie cesarstwo babilońskie padło jednak pod naporem inwazji perskiej. Babilon utrzymał swoją rangę, a drugim równorzędnym ośrodkiem rozwoju stała się Suza. W czasie panowania perskiego, które trwało do 311 r. p.n.e., znów dominowały badania w dziedzinie astronomii. Po 311 r. p.n.e. terytorium dawnego cesarstwa babilńskiego weszło w skład państwa Seleucydów. Głównym ośrodkiem państwa stała się Antiochia. Nastąpił okres intensywnego rozwoju algebry, matematyki konstrukcyjnej i astronomii. W drugim wieku p.n.e. scytyjskie plemię Partów wyparło Seleucydów z dużej części zajmowanego przez nich terytorium. Na zdobytych terenach powstało państwo Partia ze stolicą w Seleucji. Szybko stało się mocarstwem gospodarczym i politycznym w tym rejonie. Jego potęgę częściowo złamali Rzymianie w 165 r. po Chrystusie burząc Seleucję, stolicę Partii, której ruiny zostały wykorzystane w drugiej połowie VIII w. do budowy Bagdadu.

Ta garść uwag historycznych stwarza tło niezbędne do uświadomienia sobie, że w czasie, kiedy cywilizacja grecka wchodziła w kulminacyjny okres swego rozwoju, z którym uczeń szkoły podstawowej, gimnazjum i liceum kojarzy początki współczesnej matematyki, stopień rozwoju wiedzy matematycznej poza obszarem wpływów greckich był bardzo wysoki. Jest udokumentowane, że już w okresie pierwszego cesarstwa Babilończycy wiedzieli, iż istnieją takie trójki liczb, że kwadrat największej z nich jest sumą kwadratów dwóch pozostałych i znali mechanizm ich generowania. Obliczyli, używając metody rekurencyjnej podobnej do obecnie stosowanych algorytmów numerycznych, że przybliżeniem wartości pierwiastka kwadratowego liczby 2 jest liczba 1.41421297. Przybliżenie to jest poprawne do piątego miejsca po przecinku. Zbudowali tablice mnożenia i dzielenia oraz tablice liczb postaci, dla całkowitego, zmieniającego się w zakresie od 1do 20 oraz dla równego 30, 40 i 50. Tablicami tymi posługiwali się przy rozwiązywaniu równań drugiego i trzeciego stopnia postaci oraz o dodatnich współczynnikach. Wiedzieli, że aby oszacować wielkość pola koła należy pomnożyć liczbę 3 przez kwadrat jego promienia. Co więcej, wiedzieli, że dla zwiększenia dokładności tego rachunku trzeba otrzymany wynik pomnożyć przez odwrotność liczby 0.9599. A przecież pomnożenie 3 przez tę odwrotność daje 3.125, czyli przybliżenie liczby. Matematycy babilońscy prowadzili badania nad podobieństwem trójkątów i mieli wiele innych ważnych osiągnięć matematycznych. Jest niewątpliwą zasługą Greków, że przyswoili sobie podstawowe fakty matematyczne z innych kręgów cywilizacyjno-kulturowych (nie tylko babilońskiego), potrafili przedstawić je w nowy sposób, włączyć w nurt własnych badań i przekazać potomnym syntezę swej wiedzy matematycznej. Jednym z przykładów takiego działania było zainteresowanie Pitagorasa (ok. 582-507 p.n.e.) liczbami niewymiernymi. Nie ma wątpliwości, że znał on dorobek na ten temat co najmniej Babilończyków. Trzeba wiedzieć, że chociaż ówcześni matematycy greccy utożsamiali liczbę z długością odcinka i znali pojęcie ułamka, to jednak pojęcie niewspółmierności liczb było im obce. Dopiero około 500 r. p.n.e. Pitagoras stwierdził niewspółmierność przekątnej kwadratu i jego boku. Tym samym wykazał, że stosunek długości przekątnej kwadratu do długości jego boku nie może być wyrażony za pomocą żadnego ułamka skończonego. Stwierdził, że stosunek ten może być wyrażony jedynie za pomocą ułamka nieskończonego

Odkrycie dokonane przez Pitagorasa było szokiem dla ówczesnych matematyków i filozofów greckich, który trudno dziś zrozumieć, jeśli zapomni się, że myśleli oni o liczbach wymiernych i niewymiernych w zupełnie innych kategoriach pojęciowych niż czyni się to obecnie. Kiedy Archimedes (ok. 287-212 p.n.e.) sformułował prawo dźwigni, uznał za konieczne podzielić jego uzasadnienie na dwie części: dla przypadku, gdy stosunek równoważących się ciężarów jest wymierny oraz dla przypadku, gdy jest on niewymierny.

Bibliografia:
Mizgier A. (2005), Liczby niewymierne w matematyce i przyrodzie a informatyka. Praca końcowa. Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania, Warszawa

Anna Mizgier

Umieść poniższy link na swojej stronie aby wzmocnić promocję tej jednostki oraz jej pozycjonowanie w wyszukiwarkach internetowych:

X


Zarejestruj się lub zaloguj,
aby mieć pełny dostęp
do serwisu edukacyjnego.




www.szkolnictwo.pl

e-mail: zmiany@szkolnictwo.pl
- największy w Polsce katalog szkół
- ponad 1 mln użytkowników miesięcznie




Nauczycielu! Bezpłatne, interaktywne lekcje i testy oraz prezentacje w PowerPoint`cie --> www.szkolnictwo.pl (w zakładce "Nauka").

Zaloguj się aby mieć dostęp do platformy edukacyjnej




Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie