Ilustracja przedstawiająca trójkąt i proste zawierąjace jego boki
Trójkąt –
wielokąt
o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie
inkluzji
)
figura
wypukła
i
domknięta
, zawierająca pewne trzy ustalone i
niewspółliniowe
punkty
płaszczyzny
(
otoczka wypukła
wspomnianych trzech punktów).
Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy
wierzchołkami
trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.
Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami.
W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej).
Rodzaje
A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty
Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.
Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:
- trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
-
trójkąt równoramienny
ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;
-
trójkąt równoboczny
ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.
| różnoboczny |
| | równoramienny |
| | równoboczny |
|
różnoboczny | równoramienny | równoboczny |
Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:
- trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre;
-
trójkąt prostokątny
to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest
prosty
(a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
- trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.
| ostrokątny |
| | prostokątny |
| | rozwartokątny |
|
ostrokątny | prostokątny | rozwartokątny |
Trójkąty można dzielić również ze względu na inne
relacje równoważności
, np.
podobieństwo
,
przystawanie
.
Ważne elementy
Wysokość
trójkąta to
prosta
zawierająca jego wierzchołek i
prostopadła
do prostej zawierającej przeciwległy bok. Słowem "wysokość" często też nazywany jest
odcinek
wysokości, łączący wierzchołek z punktem na prostej zawierającej przeciwległy bok;
długość
tego odcinka też nazywa się wysokością. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym
ortocentrum
tego trójkąta.
Środkowa
trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym
środkiem ciężkości
(środkiem masy, barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.
Symetralna
boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem
okręgu opisanego
na tym trójkącie.
Dwusieczne
kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem
okręgu wpisanego
w ten trójkąt.
Symediana
jest
odbiciem
środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.
Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.
Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.
Punkty Brocarda
- w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.
Punkt Fermata
- punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.
Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie
W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków , symetralnych boków , wysokości (odpowiednio: środek ciężkości, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej
prostą Eulera
. Ponadto, .
Pole powierzchni
Przyjmując dla trójkąta ABC następujące oznaczenia:
- — długości boków;
- — wysokości opuszczone na boki odpowiednio ;
- — kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio ;
- — pole powierzchni;
- — promień
okręgu opisanego
;
- — promień
okręgu wpisanego
;
- — połowa obwodu; ;
dostaniemy następujące wzory na
pole powierzchni
:
Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.
- (
wzór Herona
);
- (postać
wyznacznikowa
).
Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:
W
geometrii analitycznej
przyjmując dla wierzchołków trójkąta
dostaniemy także następujące wzory:
- czyli
Środek ciężkości
Trójkąt, którego wierzchołki mają
współrzędne kartezjańskie
:
ma środek ciężkości (barycentrum) w punkcie:
Nierówność trójkąta
Wizualizacja "działania" nierówności trójkąta
W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą , i zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:
i analogicznie
Trójkąt o bokach, których długości wynoszą , i istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:
Geometrie nieeuklidesowe
Na płaszczyźnie
euklidesowej
suma miar
kątów
wewnętrznych trójkąta jest równa
kątowi półpełnemu
, czyli .
W
geometriach
innych niż
euklidesowa
suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z
bieguna północnego
10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180° a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na
sferze
(dobre przybliżenie powierzchni
geoidy
) obowiązuje
geometria eliptyczna
, a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na
piątym aksjomacie Euklidesa
, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych
geometrii
.
Zobacz też