Elipsa otrzymana jako przecięcie
stożka
płaszczyzną.
Elipsa (z
gr.
ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie”) – w
geometrii
ograniczony
przypadek
krzywej stożkowej
, czyli
krzywej
będącej częścią wspólną
powierzchni stożkowej
oraz przecinającej ją
płaszczyzny
. Jest to również
miejsce geometryczne
wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.
Elipsy powstają także jako
obrazy
okręgu
lub
sfery
w
rzucie równoległym
i pewnych przypadkach
rzutu perspektywicznego
. W istocie okręgi są przypadkami szczególnymi elips. Elipsa jest również domkniętym i ograniczonym przypadkiem krzywej stopnia drugiego danej wzorem uwikłanym lub krzywej wymiernej drugiego stopnia. Jest to zarazem najprostsza
figura Lissajous
powstająca, gdy drgania poziome i pionowe mają tę samą częstotliwość.
Elementy
Elipsa to gładka krzywa zamknięta
symetryczna
względem jej środka. Odległość między punktami antypodycznymi elipsy czyli parami punktów, których środek odcinka przez nie wyznaczany jest zarazem środkiem symetrii elipsy, jest maksymalna i minimalna wzdłuż dwóch prostopadłych kierunków – osi wielkiej (średnicy transwersalnej) oraz osi małej (średnicy sprzężonej).
Półoś wielka
i
półoś mała
(oznaczone na rysunku odpowiednio przez a i b) są połowami odpowiednio osi wielkiej i małej. Jeżeli a jest równe b, to ogniska pokrywają się ze środkiem i wówczas elipsa staje się okręgiem o promieniu r = a = b.
Na osi wielkiej, po obu stronach środka, znajdują się dwa wyróżnione punkty, F1 oraz F2, takie że suma odległości od dowolnego punktu elipsy do wspomnianych punktów jest stała, a przy tym równa osi wielkiej (2a). Każdy z tych dwóch punktów nazywany jest ogniskiem elipsy.
Mimośród
(ekscentryczność) elipsy, oznaczany zwykle symbolami lub e, to stosunek odległości między ogniskami i długości osi wielkiej. Mimośród zawiera się w przedziale od 0 do 1, przy czym jest on równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, kiedy to elipsa jest okręgiem. Gdy mimośród
dąży
do 1, elipsa wydłuża się, a współczynnik dąży do nieskończoności. Odległość ae od ogniska do środka nazywana jest mimośrodem liniowym (ekscentrycznością liniową) elipsy.
Kreślenie
Elipsa narysowana za pomocą dwóch szpilek, pętli oraz długopisu.
Metoda szpilek i sznurka
Elipsę można nakreślić za pomocą dwóch szpilek (pinezek), kawałka sznurka i rysika (ołówka, długopisu):
- Należy wetknąć szpilki w dwa punkty papieru, które staną się ogniskami elipsy, następnie zawiązać sznurek w luźną pętlę wokół szpilek, po czym naciągnąć sznurek za pomocą rysika tak, by powstał trójkąt. Elipsa zostanie nakreślona poprzez przesuwanie rysika po powierzchni kartki przy zachowaniu napięcia sznurka.
Aby nakreślić elipsę wpisaną w dany
prostokąt
, styczną do jego czterech boków w ich środkach, należy najpierw określić położenie ognisk i długość pętli:
- Niech A,B,C,D będą wierzchołkami prostokąta danymi w porządku odwrotnym do wskazówek zegara, gdzie AB jest jednym z dłuższych boków. Należy nakreślić okrąg o środku w A i promieniu równym długości krótszego boku AD, a następnie wyznaczyć styczną do okręgu przechodzącą przez B. Długość L odcinka od B do punktu styczności jest odległością między ogniskami. Należy następnie nakreślić dwie proste prostopadłe przez środek prostokąta równoległe do jego boków; będą to osie wielka i mała elipsy. Ogniska rozmieszczone są symetrycznie na osi wielkiej w odległości od środka.
- Aby dostosować długość pętli sznurka należy wetknąć szpilkę w jedno z ognisk, drugą zaś w przeciwny (położony dalej) koniec osi głównej, po czym wykonać ścisłą pętlę wokół dwóch szpilek (tak, by była napięta).
Inne metody
Elipsa może być także nakreślona za pomocą
linijki
,
ekierki
oraz rysika:
- Należy nakreślić dwie proste prostopadłe M,N na papierze; będą to osie wielka i mała elipsy. Następnie na linijce należy oznaczyć punkty A,B,C. Obracając jedną ręką linijkę tak, by punkt A zawsze leżał na prostej M, a punkt B na prostej M i kreśląc rysikiem za pomocą drugiej ręki na papierze śladem punktu C na linijce otrzymuje się elipsę.
Metoda ta może być wykorzystana przy cięciu elips z materiałów drewnianych za pomocą
frezarek
(ręcznych). Innym przyrządem korzystającym z tej zasady jest elipsograf: linijka zastąpiona jest prętem z uchwytem na rysik (punkt C) z jednej strony oraz dwoma przesuwnymi bolcami, które przesuwają się w dwóch prostopadłych prowadnicach wyciętych płycie (zob. też
nothing grinder
).
Geometria algebraiczna
Elipsa w pozycji kanonicznej opisana jest w
układzie współrzędnych kartezjańskich
(x,y)
równaniem
gdzie a i b są półosiami.
Elipsa w postaci parametrycznej dana jest jako
gdzie
W
układzie współrzędnych biegunowych
(r,θ) elipsę opisuje wzór
gdzie to
kwadrat
mimośrodu.
Własności
Pole i obwód
Pole powierzchni
ograniczonej przez elipsę:
Obwód
elipsy jest dany tzw.
całką eliptyczną
i nie daje się w ogólnym przypadku zapisać w
postaci algebraicznej
. Przybliżony wzór na obwód elipsy
Dokładny wzór na obwód elipsy wyraża się następująco (E to zupełna
całka eliptyczna
drugiego rodzaju, a to mimośród elipsy):
- Istnieją różne konwencje zapisu funkcji specjalnej E. W niektórych należy przekazać jako argument nie kwadrat mimośrodu, ale sam mimośród. Pamiętać należy jednak, że pod samym znakiem całki występuje w drugiej potędze - nigdy w pierwszej lub czwartej.
Gdy chcemy uzyskać długość łuku elipsy, nie cały obwód, musimy skorzystać z niezupełnej całki eliptycznej drugiego rodzaju[1].
Rys. 1 - własność stycznej
Styczna
Styczna w punkcie P do elipsy o ogniskach jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta . Jest to równoznaczne z tym, że promień świetlny wychodzący z jednego ogniska elipsy po odbiciu (zgodnie z zasadą, że kąt padania jest równy kątowi odbicia) od krawędzi elipsy przejdzie przez drugie ognisko (kolorowe kąty na rysunku 1 mają równe miary).
- Dowód
Załóżmy, że dwusieczna tego kąta nie jest styczną, czyli przecina elipsę w pewnym punkcie Q różnym od P.
Niech będzie odbiciem w dwusiecznej. Z symetrii wynika, że
- więc
gdzie a oznacza długość dużej półosi elipsy. Podobnie pokazujemy, że
Ponieważ kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta to punkty są współliniowe, więc są niewspółliniowe.
Stąd . Jest to sprzeczne z .
Zakładając nieprawdziwość tezy, doszliśmy do sprzeczności, zatem teza została udowodniona.
Rys. 2 - własność dwóch stycznych
Dwie styczne
Gdy z punktu leżącego na zewnątrz elipsy poprowadzimy dwie proste, styczne do elipsy w punktach i to
(kąty o tych samych kolorach na rysunku 2 mają równe miary).
- Dowód pierwszej równości
Dowód własności dwóch stycznych
Odbijamy elipsę w obu stycznych. Ogniska obrazów oznaczamy odpowiednio przez
Pamiętając własność stycznej udowodnioną powyżej, łatwo otrzymujemy, że ( - duża półoś). Oprócz tego, bo są obrazami tego samego odcinka.
Zatem
więc
oraz
- gdzie - odbicie w
Lewe części tych równości są równe, oraz, oczywiście, ; stąd
czyli
Ponieważ
to
Więc mamy a stąd, oczywiście, wynika równość którą trzeba było udowodnić.
Trójkąt opisany
Gdy punkty leżące wewnątrz trójkąta ABC spełniają
to istnieje elipsa o ogniskach wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków (rys. 3). Wtedy zachodzi również Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku okręgu opisanego na trójkącie.
- Dowód
Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do AB. Z twierdzenia odwrotnego do powyższej własności o dwóch stycznych (które jest oczywistą konsekwencją tej własności) mamy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych otrzymujemy równość
Dokonując rachunku na kątach otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.
Okrąg opisany
Niech X będzie rzutem prostokątnym ogniska elipsy na styczną do niej. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów X jest okrąg o środku w środku odcinka łączącego ogniska i o promieniu równym dużej półosi elipsy (czerwony okrąg na rys. 4).
- Dowód
Dowód twierdzenia o okręgu opisanym
Poprowadźmy dwie równoległe styczne do elipsy w punktach Są one symetryczne względem środka S elipsy, więc jest równoległobokiem.
Niech będą rzutami prostokątnymi ognisk na styczną w Y, zaś na styczną w X. Odbijamy X w prostej AB otrzymując punktX'.
Punkty są symetryczne względem S, więc
Stąd BDYX' jest równoległobokiem, czyli
Ale
Więc gdzie a - duża półoś (korzystamy z równości wynikających z istnienia odpowiednich równoległoboków).
BD jest średnicą okręgu opisanego na prostokącie ABCD, którego środkiem jest S więc , co należało pokazać.
Uogólnienia
Elipsa jest szczególnym przypadkiem
superelipsy
. Odpowiednikiem elipsy w
przestrzeni trójwymiarowej
jest
elipsoida
.
Przypisy
Zobacz też