3 · 4 = 12, czyli dwanaście kropek można uporządkować w trzech rzędach po cztery (lub w czterech kolumnach po trzy).
Mnożenie –
działanie dwuargumentowe
będące jednym z czterech podstawowych
działań arytmetycznych
. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego
dodawania
elementu do siebie.
Na przykład:
gdzie liczby 3 i 4 są czynnikami, a 12 to ich iloczyn. Powyższe oznacza, że trzy grupy po cztery elementy to razem dwanaście elementów. Z każdej z powyższych równolicznych grup można wybrać kolejno po jednym elemencie i w ten sposób stworzyć cztery nowe grupy zawierające po trzy elementy:
- .
W ten sposób , co w przypadku ogólnym nazywa się formalnie
przemiennością
. Należy mieć jednak na uwadze, że istnieją działania nazywane mnożeniami, które nie mają tej własności (zob. dalej).
Mnożenia
liczb naturalnych
o czynnikach będących
liczbami
ze
zbioru
- 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (
cyfry
dziesiętnego systemu liczbowego
uzupełnione o liczbę 10)
uczy się w pierwszych klasach
szkoły podstawowej
pod postacią tzw.
tabliczki mnożenia
. Dowolna liczba pomnożona przez zero daje w wyniku zero, podobnie dowolna liczba pomnożona przez jeden daje w wyniku tę liczbę (tzn.
jedynka
jest
elementem neutralnym
mnożenia).
Mnożenie pisemne liczb
Przykład
Algorytm pisemnego mnożenia najłatwiej wytłumaczyć na przykładzie. Obliczymy iloczyn liczb i . Należy zapisać jedną z liczb pod drugą tak, by cyfry oznaczające odpowiednio jedności, dziesiątki, setki itp. znajdowały się w jednej kolumnie (mniej precyzyjnie: wyrównać cyfry obu liczb do prawej):
Następnie mnoży się poszczególne cyfry i zapisuje jedna pod drugą na odpowiedniej pozycji: jeżeli przyjąć, że pozycje cyfr numerowane są od prawej począwszy od zera, to cyfra dziesiątek i cyfra jednostek iloczynu dwóch cyfr powinny być zapisywane na pozycji będącej sumą pozycji mnożonych cyfr i o jeden mniejszej (jeżeli cyfra dziesiątek jest zerem, to zwykle się jej nie pisze). W ten sposób (mnożąc kolejno od prawej cyfry drugiej liczby przez kolejne cyfry pierwszej liczby):
Suma tak zapisanych iloczynów cyfr (przyjmując, że puste miejsca oznaczają zera) daje wynik:
Mnożenie
liczb całkowitych
przebiega podobnie, z tym iż mnoży się
wartości bezwzględne
, tzn. liczby bez znaku, i uzupełnia znak iloczynu minusem, jeżeli dokładnie jedna z nich była ujemna.
Jeżeli jeden (lub oba) z czynników jest pewną
wielokrotnością
liczby 10, tzn. na jej końcu znajduje się pewna liczba zer, to zamiast
oblicza się iloczyn
mnożąc przy tym tylko wspomniane czynniki, tzn. bez końcowych zer, mnożąc końcowy wynik przez iloczyn potęg, tzn. dopisując odpowiednią liczbę zer na jego końcu.
Podobnie ma się rzecz z
ułamkami
w
zapisie dziesiętnym
, gdyż są one ujemnymi potęgami liczby 10. Należy więc wykonać mnożenie tak, jakby w ich zapisie nie było przecinka, czyli znów zamiast należy obliczyć iloczyn po czym umieścić przecinek tak, by znajdował się na pozycji będącej sumą pozycji przecinków w czynnikach (licząc od prawej).
Uwaga: Mnożyć sposobem pisemnym można tylko w
systemach pozycyjnych
.
Algorytm
Sam algorytm mnożenia pisemnego polega na zapisaniu liczby naturalnej w postaci sumy kolejnych potęg dziesiątki. Niech i
- ,
- .
Wówczas
przy czym trzecia równość odpowiada mnożeniu poszczególnych cyfr, a ostatnia – końcowemu sumowaniu.
Definicja
W dobrze znanych zbiorach liczbowych mnożenie definiowane jest osobno w każdym z nich za pomocą działania zdefiniowanego w prostszej strukturze:
- można zapisać to rekurencyjnie: ;
- .
Oznaczenia
Mnożenie oznacza się na ogół symbolem kropki, np. , czasami w miejsce kropki używa się znaku obróconego krzyżyka: , zaś w informatyce, z racji łatwej dostępności na
klawiaturze komputera
, przyjęło się używanie
asterysku
: a = b * c
.
Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, symbol mnożenia w zapisie matematycznym często pomija się, np. zamiast pisze się .
Własności
Czynnik 1 | Czynnik 2 | Iloczyn |
---|
parzysty | całkowity | parzysty |
całkowity | parzysty | parzysty |
naturalny | naturalny | naturalny |
całkowity | całkowity | całkowity |
całkowity | wymierny | wymierny |
wymierny | niewymierny | niewymierny lub zerowy |
algebraiczny | algebraiczny | algebraiczny |
algebraiczny | przestępny | przestępny lub zerowy |
rzeczywisty | rzeczywisty | rzeczywisty |
zespolony | zespolony | zespolony |
Iloczyn skończonej liczby czynników
Niech A będzie zbiorem, w którym określono działanie łączne i mające element neutralny 1 (tzn. struktura jest
monoidem
). Może to być np. zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych) z mnożeniem. Wówczas definiujemy iloczyn indukcyjnie wzorami
i w podobny sposób definiujemy .
Notację tę można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.:
- jest iloczynem czynników postaci dla każdego
całkowitego
x z
przedziału
[0,100),
- jest iloczynem czynników postaci dla każdego (niekoniecznie całkowitego).
Algebra
Mnożenie liczb zostało uogólnione na
struktury algebraiczne
nazwane
pierścieniami
(np. liczby całkowite) i
ciałami
(liczby wymierne, rzeczywiste, zespolone).
Rozpatruje się także mnożenie elementów ciała i
przestrzeni liniowej
nad tym ciałem, tzw.
mnożenie przez skalar
. Mnożeniem nazywa się często działanie w
grupach
w
zapisie multiplikatywnym
.
W tych strukturach mnożenie zwykle jest
łączne
i
rozdzielne
względem dodawania. Nie zawsze jest jednak
przemienne
, np.
mnożenie macierzy
i
iloczyn wektorowy
. Iloczyn wektorowy nie jest również
łączny
; mnożenie nie jest łączne także w
kwaternionach
i
oktonionach
. Wynik mnożenia, nazywanego
iloczynem skalarnym
, pochodzi z innego zbioru niż czynniki.
Działanie mnożenia może mieć
element neutralny
, najogólniejszymi strukturami, w których
działanie dwuargumentowe
ma element neutralny są
monoid
(w którym działanie musi być łączne) i
quasi-grupa
(w którym działanie nie musi być łączne). Zwykle oznacza się go symbolem (inne rozpowszechnione oznaczenia: , , przy czym litery mogą być tak duże jak i małe) i nazywa jedynką (zob.
pierścień z jedynką
).
Z istnieniem jedynki związany jest tzw.
element odwrotny
. Jeżeli iloczyn dwóch elementów jest jedynką, to elementy te nazywa się wzajemnie odwrotnymi. Najogólniejszą strukturą o tej własności jest pętla, czyli quasi-grupa z jedynką. Sama quasi-grupa to przykład struktury, w której można rozważać elementy odwrotne bez jedynki.
Zobacz też