Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Złoty podział

Złoty podział

Złoty podział ( łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja ( łac. divina proportio) — podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi"). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka.

Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu .

Spis treści

Wartość liczby φ

Korzystając z definicji można obliczyć wartość złotej liczby.

Liczba φ
Ułamek łańcuchowy [1; 1, 1, 1, \dots]

1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}
Ułamek zwykły \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

φ = (a+b) : a = a : b

Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}

czyli

1 + 1/φ = φ

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego :

φ² – φ – 1 = 0

Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste :

\frac{1\pm\sqrt 5}{2}

jedno z nich jest dodatnie:

\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989

Złota liczba

Liczba φ bywa nazywana złotą liczbą

Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

co daje kolejno:

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55... → φ

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Równanie rekurencyjne

\phi(0)=1\;
\phi(n+1)=1+\frac{1}{\phi(n)}

Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:

\frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi-1\approx 0{,}618033989

Przykłady

Złoty podział w pięciokącie foremnym.
  • Punkt przecięcia przekątnych w pięciokącie foremnym dzieli je według złotego podziału.
  • Korzystając z twierdzenia Ptolemeusza można wykazać, że bok a pięciokąta foremnego stanowi złotą część jego przekątnej b:
b={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\cdot a.
  • Bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego odcinka otrzymanego ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.
  • \operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 \right)=\frac{1}{\varphi}.

Złoty prostokąt

Jest to prostokąt , którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Wynika to wprost z definicyjnej własności liczby φ – jeśli na początku:

\frac{a}{b} = \varphi

(na rysunku poniżej prostokąt oznaczony kolorem czerwonym), to po dobudowaniu kwadratu na dłuższym boku (zaznaczony na czarno) otrzymuje się prostokąt o bokach a+b i a:

\frac{a+b}{a} = \varphi.

Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od (dużego) złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta (czarny) otrzymuje się prostokąt (czerwony), którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.

Powtarzając te czynności otrzymuje się kolejne coraz większe lub coraz mniejsze złote prostokąty.

Przykład konstrukcji

Przykład konstrukcji złotego prostokąta

Powyżej zilustrowano jeden z wielu sposobów wyznaczenia złotego podziału. Kolejne kroki konstrukcji:

  1. Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku a.
  2. Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na rysunku jest to środek dolnego boku).
  3. Weź odcinek łączący środek boku z końcem boku przeciwległego (na rysunku – odcinek c) i odłóż go ze środka boku na prostej , w której zawiera się ten bok (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu).
  4. Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza szukaną długość b.

Długości początkowego odcinka a i znalezionego b pozostają w złotym stosunku, a/b=φ, wyznaczają więc złoty podział skonstruowanego mimochodem odcinka a+b.

Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji

Znaleziony w trzecim kroku odcinek c jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i a/2. Na mocy twierdzenia Pitagorasa :

c^2 = a^2 + \left( \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\;a^2

zatem jego długość:

c = \frac{\sqrt 5}{2}\;a.

Odkładając odcinek c w prawo ze środka boku kwadratu otrzymaliśmy odcinek (dłuższy bok prostokąta) o długości:

\frac{a}{2} + c

zaś za b przyjęliśmy część (czerwoną) pozostałą po skróceniu o odcinek a (czarny):

b = \frac{a}{2} + c - a

czyli:

b = c - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt 5 - 1}{2}\;a.

Stosunek długości a:b wynosi:

\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt 5 - 1} = \frac{\sqrt 5 + 1}{2} = \varphi

czyli równy jest złotej liczbie. Konstrukcja prowadzi więc do złotego podziału.

Zobacz też

Linki zewnętrzne


Inne hasła zawierające informacje o "Złoty podział":

Mieszko II Lambert ...

Nadciśnienie tętnicze ...

Adwentyzm ...

Linz ...

Studia ...

Sztuka ...

Brno ...

Tadeusz Kognowicki ...

XVI wiek ...

1972 ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Złoty podział":

01 Znaki drogowe - znaki uzupełniające (plansza 17) ...

Podział odcinka (plansza 5) ...

011. Cesarstwo Bizantyjskie (plansza 11) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie