Zdanie w sensie logiki (zdanie logiczne) – wypowiedź , która stwierdza określony stan rzeczy . Zdanie z języka J stwierdza (na mocy reguł semantycznych J) stan rzeczy s zawsze i tylko wtedy, gdy na mocy reguł semantycznych języka J: zdanie z jest prawdziwe zawsze i tylko wtedy, gdy s a z jest fałszywe zawsze i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że s.

Intuicje

Zdanie logiczne jest zdaniem oznajmującym, któremu można przypisać jedną z wartości logicznych . W logikach dwuwartościowych są nimi prawda albo fałsz . Ponieważ język logiki i matematyki znacznie różnią się od języków naturalnych , możemy modyfikować określenie podane w poprzednim zdaniu tak, aby dopasować je do wymogów języków formalnych . I tak możemy określać zdanie logiczne jako wyrażenie (niekoniecznie o skończonej długości), złożone z symboli danego języka połączonych relacjami iloczynu logicznego , sumy logicznej i negacji , któremu można (przynajmniej teoretycznie) podporządkować jedną z wartości logicznych.

Przykłady zdań

• Pada teraz deszcz.

Jest to zdanie w sensie logiki gdyż można mu przypisać wartość prawda lub fałsz.

• Idź do domu!

Nie jest to zdanie w sensie logiki gdyż nie można mu przypisać wartości prawda lub fałsz.

Zdania w rachunku zdań

Definicja

Aby zdefiniować formalnie czym jest zdanie, najpierw ustalamy zbiór zmiennych zdaniowych (tradycyjnie jest to zbiór liter p,q,r,s z indeksami będącymi liczbami naturalnymi, czyli ). Zmienne zdaniowe mają reprezentować proste zdania których wartość logiczną możemy łatwo rozstrzygnąć, ale ta interpretacja nie jest w ogóle potrzebna w rachunku zdań. Zmienne zdaniowe mogą być (i często są) traktowane jako formalne symbole bez specjalnego znaczenia poza budowaną teorią.

Następnie ustalamy zbiór spójników logicznych, z których każdy ma ustaloną arność . Najczęściej używanymi spójnikami logicznymi są: spójnik jednoargumentowy ( negacja ) i cztery spójniki dwuargumentowe: ( alternatywa ), ( koniunkcja ), ( implikacja ) i ( równoważność ).

Niech będzie zbiorem ciągów symboli, który jest najmniejszym zbiorem o następujących własnościach:

• każda zmienna zdaniowa należy do ,
• jeśli , to również ,
• jeśli i * jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to również .

Elementy zbioru są nazywane zdaniami.

Przykłady i własności

Ustalmy zbiór zmiennych zdaniowych i zbiór spójników logicznych jak zaproponowane powyżej.

• Następujące ciągi symboli są zdaniami naszego rachunku zdań: , , .
• Często dla poprawienia czytelności naszych napisów omijamy pewne nawiasy i piszemy np zamiast . Istnieją również umowy co do kolejności wykonywanych operacji pozwalające na jeszcze poważniejsze omijanie nawiasów. Jednak ściśle biorąc nawiasy są potrzebne czy nawet niezbędne i lepiej jest je wszystkie zanotować niż zbyt wiele ominąć.
• Następujące ciągi symboli nie są zdaniami naszego rachunku zdań: , (p₁), .
• Jeśli każdej zmiennej zdaniowej przyporządkujemy jakąś wartość logiczną , to przyporządkowanie jest rozszerzane na wszystkie zdania (przez indukcję po złożoności zdania). Niektóre zdania otrzymają wartość logiczną prawda bez względu na to jakie jest początkowe przyporządkowanie. Takie zdania nazywamy tautologiami rachunku zdań . Przykładami tautologii są i .
• Skończone ciągi zdań mogą utworzyć dowód .

Podział zdań

• Zdania proste - w których nie występuje żaden spójnik
• Zdanie złożone - w których występuje co najmniej jeden spójnik

Zdania w rachunku kwantyfikatorów

W rachunku kwantyfikatorów struktura studiowanych wyrażeń jest o wiele bogatsza niż w rachunku zdań i zdania są tylko specjalnym rodzajem tychżesz wyrażeń.

Definicja

Ustalmy alfabet τ który jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z symboli ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalamy też listę zmiennych (zwykle ). Najpierw definiujemy termy języka jako elementy najmniejszego zbioru takiego, że:

• wszystkie stałe i zmienne należą do ,
• jeśli i jest n-arnym symbolem funkcyjnym, to .

Następnie określamy zbiór formuł języka jako najmniejszy zbiór taki, że:

• jeśli , to t₁ = t₂ należy do ,
• jeśli zaś jest n-arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie należy do ,
• jeśli i * jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to oraz ,
• jeśli x_i jest zmienną oraz , to także i .

W formułach postaci i mówimy że zmienna x_i znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana.

Zdanie w języku pierwszego rzędu to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, tj. znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.

Przykłady i własności

• Następujące formuły są zdaniami (dla odpowiednio dobranego alfabetu τ): , , AC , CH
• Następująca formuła nie jest zdaniem ponieważ zmienna x₁ nie jest związana: .
• Jeśli stałe, symbole funkcyjne i symbole relacyjne alfabetu τ zostaną zinterpretowane (czyli gdy zbudujemy model dla naszego języka), to o każdym zdaniu możemy rozstrzygnąć czy jest ono spełnione w tym modelu czy też nie.

Zdania w innych logikach

Definicja zdania sformułowana powyżej dla logiki pierwszego rzędu może być w naturalny sposób przeniesiona na grunt innych logik. W szczególności w bardzo podobny sposób określamy czym jest zdanie w

• logikach nieskończonościowych (zezwalających na użycie nieskończonych koniunkcji czy też nieskończenie wielu kwantyfikatorów),
• logikach ze specjalnymi kwantyfikatorami (takimi jak kwantyfikator Magidora-Malitza),
• logice z -symbolem Hilberta,
• logikach wyższych rzędów

Zobacz też

• ,
• rachunek predykatów pierwszego rzędu ,
• rachunek zdań ,
• formuła logiczna ,
• teoria modeli ,
• język logiczny .