Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Porządki częściowe

Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym . Przypuśćmy też, że i . Powiemy, że

• element s jest ograniczeniem górnym zbioru A jeśli ,
• element s jest ograniczeniem dolnym zbioru A jeśli ^[1].

Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru A, to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest on zawarty w pewnym przedziale .

W szczególności, podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

Przestrzenie metryczne

Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną . Powiemy, że zbiór jest ograniczony w X jeśli jest on zawarty w pewnej kuli .

Równoważnie, niepusty zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór jest ograniczony z góry (jako zbiór liczb rzeczywistych).

Przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną . Powiemy, że zbiór jest ograniczony w X, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje , że .

Można wykazać, że jeśli X jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

Przypisy

Zobacz też

• lemat Kuratowskiego-Zorna ,
• zbiór całkowicie ograniczony ,
• kres dolny i górny .