Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Nie znaleziono szukanej frazy! Poniżej znajduje się fraza najbardziej przypominająca szukaną.

Zbiór

Zbiór

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki , w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne . Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów, bez wyróżnionej kolejności, nazywanych elementami.

W zależności od kontekstu zbiór zbiorów może też być nazywany rodziną zbiorów, a zbiór wszystkich rozważanych w danej teorii obiektów przestrzenią lub uniwersum.

W klasycznej teorii mnogości pojęcie zbioru wprowadza się razem z relacją przynależności \in, która wskazuje czy dany element należy do zbioru, czy nie. Relacja ta nie jest przechodnia , co można uznać za zgodne z intuicją – oczy są elementami człowieka, ludzie są elementami społeczeństwa, ale oczy nie są uważane za elementy społeczeństwa.

Spis treści

Notacja

Zwyczajowo zbiory oznacza się wielkimi literami, a ich elementy – małymi. Tak więc zdania a jest elementem zbioru A lub element a należy do A zapisuje się krótko a \in A lub A \ni a..

Korzysta się też z notacji wielokropkowej. Nie jest ona ścisła, zakłada ona pewną domyślność czytelnika, co bywa ryzykowne: łatwo domyślić się, że wzór \{1, 3, \dots, 55\} może oznaczać wszystkie nieparzyste liczby naturalne od 1 do 55; jednak wskazanie zbioru opisanego wzorem \{3, 5, \dots, 101\} jest już problematyczne (liczby nieparzyste czy pierwsze ?).

Ścisłą notacją jest natomiast \{a\in \Omega \colon f(a)\}, co oznacza zbiór wszystkich elementów zbioru Ω, spełniających warunek logiczny f(a). Dawniej stosowano też notację {a:f(a)} jednak okazało się, że prowadzi ona do sprzeczności - nie istnieje na przykład zbiór wszystkich zbiorów {a:1} (zob. Antynomia Russella ). Odkrycie to było motorem do uściślenia pojęcia zbioru przez aksjomatyzację i dało początek nowoczesnej teorii mnogości.

Zbiór, do którego nie należy żaden element, nazywa się zbiorem pustym i oznacza symbolami \emptyset lub \varnothing.

Zbiory, których moc (odpowiednik potocznego pojęcia liczby elementów) da się zapisać liczbą naturalną , nazywa się zbiorami skończonymi ; zbiory, które nie są skończone nazywa się nieskończonymi. Moc zbioru X, oznaczana jest jednym z symboli | X | , \overline{\overline{X}},\,\# X lub card X.

Działania

Suma zbiorów

Suma zbiorów

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B:

A \cup B = \{ x: x \in A \or x \in B \} .

Przykład.

Jeżeli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to  A \cup B=\{1,2,3,4,5\} . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Sumę uogólnia się na działania wieloargumentowe, także na nieskończenie wieloargumentowe.

Iloczyn zbiorów

Iloczyn zbiorów

Iloczynem (przekrojem, częścią wspólną) zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak:  A \cap B=\{ x: x \in A \and x \in B \} . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Przykład.

Jeśli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to  A \cap B=\{1\} . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Iloczyn także uogólnia się na działania wieloargumentowe, w tym nieskończenie wieloargumentowe.

Różnica zbiorów

Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak:  A \backslash B = \{ x: x \in A \and x \notin B \} . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też AB.

Przykład

Jeśli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to  A \backslash B=\{2,5\} . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zostanie zbiór A pozbawiony elementu {1}.

Dopełnienie zbioru

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni Ω nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni Ω, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczane jest A' lub Ac. Definicja formalna:

 A^\prime=\{ x: x \in \Omega \and x \notin A \} .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to różnica przestrzeni Ω i zbioru A:  A^\prime=\Omega \backslash A. Zbiór Ω zwany jest też uniwersum.

Przykład.

Jeśli A = {1,2,3}, a przestrzenią Ω jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór  A^\prime=\{4,5,6,7,8,\dots\} .

Różnica symetryczna

Różnica symetryczna to zbiór elementów należących do dokładnie jednego z dwóch zbiorów (lecz nie do obydwu naraz)

Iloczyn kartezjański

Iloczyn kartezjański to zbiór wszystkich takich par , których pierwszy element należy do pierwszego zbioru, drugi – do drugiego.

Suma rozłączna

Suma rozłączna – suma zbiorów, a której zachowano informację o zbiorze, z którego pochodzi element.

Zbiór potęgowy

Zbiór potęgowy – zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru.

Własności działań na zbiorach

Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

  •  (A \cup B)'=A' \cap B' I prawo De Morgana
  •  (A \cap B)'=A' \cup B' II prawo De Morgana
  •  A \cup B = B \cup A – przemienność dodawania zbiorów
  •  A \cap B = B \cap A – przemienność mnożenia zbiorów
  •  (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) – łączność dodawania zbiorów
  •  (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) – łączność mnożenia zbiorów
  •  A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) – rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
  •  A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) – rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania

Uogólnienia

W matematyce rozpatruje się uogólnienia pojęcia zbioru; można zaliczyć do nich:

  • klasy ,
  • multizbiory , które mogą zawierać jeden element wiele razy;
  • n-tki , multizbiory w których określona jest kolejność;
  • zbiory rozmyte , do których elementy mogą należeć tylko „częściowo” (klasyczny zbiór nie dopuszcza niejednoznaczności: dany element należy do zbioru albo do niego nie należy). Pojęcie to okazało się bardzo użyteczne w automatyce . Formalnie zbiór rozmyty można zdefiniować go jako funkcję (a więc również zbiór, jednak o bardzo złożonej strukturze), która elementom jakiegoś klasycznego zbioru przyporządkowuje liczby rzeczywiste z przedziału [0,1].
  • zbiory przybliżone , które umożliwiają odzwierciedlenie logikę trójstanowej. Zbiór przybliżony można rozumieć jako parę zwykłych zbiorów, której elementy oznaczają dolne i górne oszacowanie: dany element należy do obydwu, do żadnego, albo tylko do górnego zbioru. Ostatni przypadek można stosować do modelowania niepewności.

Zobacz też


Inne hasła zawierające informacje o "Zbiór":

Trzcina cukrowa Uprawiana jest wszędzie w strefie tropikalnej.Spis treści1 Morfologia2 Biologia3 Zastosowanie4 Uprawa5 Bibliografia MorfologiaZbiór trzciny. Plantacja trzciny na Maderze . Łodyga Źdźbło osiąga wysokość do 2–6 (8) m i ...

Sortowanie ...

Grupa ...

Tomasz Zan (poeta) Zan , konspirator i żołnierz AK . Jego wnuczką była Kazimiera Iłłakowiczówna . BibliografiaZ filareckiego świata:Zbiór wspomnień z lat 1816-1824 by Henryk Mościcki http://kpbc.umk.pl/dlibra/doccontent?id=27328&dirids=1 Szlakiem Adama Mickiewicza po ...

Świadomość społeczna Świadomość społeczna - pojęcie socjologiczne wprowadzone przez Émile Durkheima oznaczające Zbiór wyobrażeń , symboli , pojęć , opinii, poglądów i przesądów , wspólnych dla olbrzymiej większości ...

Samuel Johnson z 1781 roku The Lives of the English Poets (Biografie poetów) – Zbiór biografii poetów brytyjskich, serię kazań.W Birmingham , gdzie Johnson przebywał w ostatnim ...

Musical muzycznych, które są przywracane w późniejszych etapach spektaklu, choć czasem może zawierać Zbiór piosenek niezwiązanych ze sobą muzycznie w sposób bezpośredni. Dialogi mówione generalnie ...

Rekultywacja jezior roku 2008 wykorzystywany w procesie rekultywacji Jeziora Głębokiego w Szczecinie Rekultywacja jezior - Zbiór metod, których celem jest poprawa stanu ("naprawa") ekosystemów jeziornych .Punktem wyjścia jest ...

Konstanty Fredro generalnego i oficjała kolejnego biskupa przemyskiego, Antoniego Gołaszewskiego .Znany kaznodzieja, w 1818 wydał Zbiór Kazania odświętne w kościele katedralnym przemyskim miane (w dwóch tomach). BibliografiaJan ...

Jarząb pospolity jest stosowana w mieszankach z innymi ziołami (wchodzi np. w skład Rektosanu, Sklerosanu)[7].Zbiór i suszenie: owoce zrywa się gdy już są czerwone, ale przed ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Zbiór":

Zbiory liczbowe (plansza 14) – np. -2 jest liczbą całkowitą a nie jest naturalną c) P – Zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych d) P – tak ...

Algorytmy sortujące - sortowanie przez wstawianie, sortowanie przez wybór (plansza 3) le height=380 width=770 > Zbiór posortowany to taki Zbiór, w którym kolejne elementy są poukładane w ...

Algorytmy sortujące - sortowanie bąbelkowe, część II (plansza 3) wewnętrznej były przestawiane elementy (czyli czy wykonano operacje sortujące). Jeśli nie, to Zbiór jest już posortowany i możemy zakończyć pracę algorytmu. Teraz rośnie trudność wyznaczenia ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie