W teorii mnogości , zbiory stacjonarne i cluby to podzbiory liczb kardynalnych (traktowanych jako liczby porządkowe ) które są w pewnym sensie duże.

Definicje

Niech κ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (która będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).

• Powiemy, że zbiór jest domknięty jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na κ, który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby α < κ mamy

.

• Zbiór jest nieograniczony w κ jeśli .
• Powiemy, że zbiór jest clubem w κ jeśli jest on zarówno domknięty jak i nieograniczony.
• Zbiór jest stacjonarnym podzbiorem κ, jeśli dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn cluba) zbioru .
• Zbiór jest niestacjonarnym podzbiorem κ, jeśli S nie jest stacjonarny, czyli gdy dla pewnego cluba .

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (np taka nazwa używana jest w monografii Kunena^[1])

Własności i przykłady

Niech κ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.

• Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż κ jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
• Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych α < κ o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem κ.
• Dla każdej funkcji , zbiór jest clubem w κ.
• Jeśli jest rodziną clubów na κ, , to przekrój też jest clubem.
• Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina

dla pewnego cluba

jest κ-zupełnym filtrem podzbiorów κ.

Rodzina wszystkich niestacjonarnych podzbiorów κ tworzy κ-zupełny ideał podzbiorów κ.

• Lemat Fodora mówi, że jeśli S jest stacjonarnym podzbiorem κ oraz jest funkcją taką że , to funkcja f jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru S. (Odwrotnie, jeśli S jest niestacjonarnym podzbiorem κ, to istnieje funkcja taka że która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru S.)

Bibliografia

1. ↑ Kunen, Kenneth. Set theory. An introduction to independence proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xvi+313 pp.

Zobacz też

• ,
• miara Dieudonné ,
• diament Jensena