Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Iloczyny grup

Iloczyny grup

Iloczyny (produkty) grup – w teorii grup są to sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych .

Iloczyn kartezjański

Niech \{G_i\colon i \in I\} będzie rodziną grup, gdzie I jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy zbiór

\prod_{i \in I} G_i = G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n \times \dots = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon g_i \in G_i, i \in I\}

z działaniem

(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)(h_1, h_2, \dots, h_n, \dots) \overset\underset\mathrm{def}\ = (g_1 h_1, g_2 h_2, \dots, g_n h_n, \dots).

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem \prod_{i \in I} G_i.

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny .

Iloczyn prosty

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup Gi określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup \prod_{i \in I} G_i określonego równością

\coprod_{i \in I} G_i \overset\underset\mathrm{def}\ = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon \exists_m\; \forall_{i > m}\; g_i = e_i\}.

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako suma prosta właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Uwagi

Jeżeli I = \{1, 2, \dots, n\} jest zbiorem skończonym , to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n.

Jeżeli jednak I = \mathbb N jest zbiorem przeliczalnym , a Ginietrywialne dla nieskończenie wielu i \in I, to \coprod G_i < \prod G_i.

Suma prosta

Jeżeli rozważamy grupy Ai z addytywnym sposobem zapisu , to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

\bigoplus_{i \in I} A_i.

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych , modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny , tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych G = H \oplus K = K \oplus H. Jest również łączny w sensie, że jeżeli G = H \oplus K oraz K = L \oplus M, to G = H \oplus (L \oplus M) = H \oplus L \oplus M.

Jeżeli G = H \oplus K, to można udowodnić, że:

  • dla dowolnych h \in H,\; k \in K zachodzi h + k = k + h,
  • dla dowolnych g \in G istnieją jednoznacznie wyznaczone h \in H,\; k \in K takie, że g = h + k,
  • zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. (H \oplus K)/K jest izomorficzna z H.

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

Przykłady

Iloczyn półprosty

Niech będą dane grupy N i D oraz homomorfizm \varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N grupy D w grupę automorfizmów grupy N.

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup N i D za pośrednictwem \varphi, oznaczanym N \rtimes_{\varphi} D, nazywa się grupę składająca się z elementów (n, d),\; n \in N, d \in D wraz z działaniem określonym wzorem

(n_1, d_1)(n_2, d_2) = \left(n_1 \varphi_{d_1}(n_2), d_1 d_2\right)

oraz odwrotnością daną przez

(n, d)^{-1} = \left(\varphi_{d^{-1}}(n^{-1}), d^{-1}\right),

i elementem neutralnym

(e,1)

gdzie e \in N oraz 1 \in D są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrzny

Niech N będzie podgrupą normalną w G. Dopełnieniem normalnym D podgrupy N w G nazywamy zbiór spełniający warunki N \cap D = \{e\} oraz ND = G (równoważnie DN = G).

Grupę G nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup N i D, co oznacza N \rtimes D wtedy i tylko wtedy, gdy D jest dopełnieniem normalnym N.

Swoją nazwę iloczyn ten zawdzięcza faktowi, iż w iloczynie półprostym homomorfizm \varphi jest postaci D \to \operatorname{Inn}\; N, a więc w grupę automorfizmów wewnętrznych grupy N; innymi słowy: zachodzi N \rtimes_\varphi D = G dla \varphi_d(n) = dnd^{-1}, czyli sprzężenia n przez d.

Uwagi

  • N \rtimes_\varphi D \equiv N \times D wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm \varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N jest trywialny.
  • N \rtimes_\varphi D jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy N,D są przemienne oraz \varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N jest trywialny.

Przykłady

Bibliografia

  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005,

Zobacz też

Linki zewnętrzne


Inne hasła zawierające informacje o "Iloczyny grup":

Iloczyn Matematyka:iloczyn – wynik mnożenia , iloczyn nieskończony – uogólnienie powyższego, iloczyn logiczny , iloczyn zbiorów , iloczyn kartezjański , Iloczyny grup , iloczyn skalarny , iloczyn wektorowy , iloczyn mieszany wektorów.Chemia: iloczyn jonowy iloczyn rozpuszczalności Zobacz też produkt ...

Mieszko II Lambert ...

Nadciśnienie tętnicze ...

Adwentyzm ...

Oddychanie komórkowe ...

Autorytet ...

Augustinas Voldemaras ...

Szkoci ...

Jura ...

Grupa ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Iloczyny grup":

Układ okresowy pierwiastków (plansza 20) ...

01 Znaki drogowe - znaki zakazu - część 1 (plansza 15) ...

Rozprawa z rozprawką (plansza 7) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie