Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Spis treści

Definicja

Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje[1]:

  • promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna
  • amplituda punktu P to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS a wektorem \overrightarrow{OP}

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe (0,0). O amplitudzie możemy zakładać, że 0\leqslant \varphi<2\pi (niektórzy autorzy przyjmują -\pi< \varphi\leqslant \pi).

Rys historyczny

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku . Według Juliana Coolidge'a[2] pierwszeństwo w używaniu tego systemu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu .

  • Cavalieri[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym "obrotem").
  • W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
  • W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobną metodę użył szkocki matematyk James Gregory .
  • Isaac Newton [4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
  • Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego , który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z systemem kartezjańskim

Wykres ilustrujący związek systemów polarnego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański OXY oraz układ biegunowy z biegunem O i osią biegunową OX.

Przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego r\geqslant 0 i amplitudy \varphi\in [0,2\pi) punktu P, jego współrzędne kartezjańskie określa:

x=r\cdot\cos\varphi
y=r\cdot\sin\varphi

Jakobian przejścia wynosi

\frac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\\sin\varphi & r\cos\varphi\\\end{array}\right|  = r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r

Przejście od systemu kartezjańskiego do systemu polarnego

Rozważmy punkt którego współrzędne kartezjańskie są (x,y). Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa :

r = \sqrt{x^2 + y^2}.

Jeśli r\neq 0, to amplituda \varphi tego punktu jest dana przez:

\varphi = \begin{cases}\operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}),        & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\\operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\\operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi,  & \mbox{gdy } x < 0\\\tfrac{\pi}{2},               & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\\tfrac{3\pi}{2},              & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0\end{cases}

gdzie \operatorname{arctg} oznacza funkcję arcus tangens . W zakresie kątów ( − π,π) można ten zapis uprościć do

\varphi = \operatorname{arccos}(\tfrac{x}{r})\;\operatorname{sgn}(y)

gdzie \operatorname{sgn} oznacza funkcję signum .

Krzywe w układzie biegunowym

Dla szeregu krzywych algebraicznych, ich równania przedstawione w systemie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg

Okrąg o równaniu r = 1

Okrąg o środku w punkcie (r_0,\varphi_0) i promieniu a > 0 jest opisany przez równanie

r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \varphi_0) + r_0^2 = a^2.

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

r = a

Róża

Róża o równaniu r=2\sin(4\varphi)

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

r= a \cos (k\varphi + \varphi_0) ,

gdzie \varphi_0 jest dowolną stałą, a jest parametrem wyznaczającym długość "płatków" róży, a k jest parametrem wyznaczającym ilość i formę "płatków" róży. Jeśli k jest nieparzystą liczbą całkowitą , to róża będzie miała k płatków, a jeśli k jest parzystą liczbą całkowitą to róża będzie miałą 2k płatków. Dla innych wartości k kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

Jedno ramie spirali Archimedesa o równaniu r=\varphi dla 0<\varphi<6\pi

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

r = a+b\varphi.

Parametry a,b w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana a spowoduje obrócenie krzywej, a wartość b wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

\varphi = \varphi_0,

gdzie \varphi_0 to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

\varphi = \varphi_0

i przecina ją w punkcie (r_0,\varphi_0), zadana jest przez równanie

r= r_0\sec(\varphi-\varphi_0).

Liczby zespolone

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej . Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

z = x + iy\,

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej z:

z = r\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)).

(Powyżej, r to moduł liczby z, a \varphi to jej argument .)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

z = re^{i\varphi} \,

gdzie e to liczba Eulera .

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

  • r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,
  • \frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,
  • (re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,

Zobacz też

Przypisy

  1. Leja, Franciszek : Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa 1976, strona 45.
  2. Coolidge, Julian: The Origin of Polar Coordinates. "The American Mathematical Monthly" 59 (1952), strony 78-85.
  3. Cavalieri, Bonaventura: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635.)
  4. Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671.)


Inne hasła zawierające informacje o "Układ współrzędnych biegunowych":

Albumina ...

1972 ...

Fabian Bellingshausen ...

Zawał mięśnia sercowego ...

Zygmunt III Waza ...

Mantua ...

Stratyfikacja termiczna wody w jeziorze ...

Torebka kłębuszka nerkowego ...

Ciałko nerkowe ...

Klaudiusz Ptolemeusz ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Układ współrzędnych biegunowych":

Schemat blokowy algorytmu (plansza 2) ...

15 Holowanie (plansza 7) ...

01 Znaki drogowe - tabliczki do znaków drogowych - część 1 (plansza 11) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie