Dyskretna transformata Fouriera
Dyskretna transformata Fouriera (DFT z
ang.
Discrete Fourier Transform) jest
transformatą Fouriera
wyznaczoną dla
sygnału
próbkowanego
, a więc
dyskretnego
.
DFT przekształca skończony
ciąg
próbek sygnału 
w
ciąg
harmonicznych
zgodnie ze wzorem:
gdzie:
i -
jednostka urojona
, k - numer harmonicznej, n - numer próbki sygnału, an - wartość próbki sygnału, N - liczba próbek.
Przekształcenie odwrotne
Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:
Postać macierzowa DFT
Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:
Macierze
a, A, M, W mają następującą postać:
![\mathbf{a}=\left[\begin{matrix}a_{0} \\a_{1} \\\vdots \\a_{N-1}\end{matrix}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/7/5/0/750bd91c32f2adc93bd908756dc49c8b.png)
![\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}A_{0} \\A_{1} \\\vdots \\A_{N-1}\end{matrix}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/e/4/0/e40f014a39e3d45ce8147016c23c0c90.png)
![\mathbf{M}=\left[\begin{matrix}w_{N}^{-0\cdot 0} & w_{N}^{-1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{-(N-1)\cdot 0} \\w_{N}^{-0\cdot 1} & w_{N}^{-1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{-(N-1)\cdot 1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_{N}^{-0\cdot (N-1)} & w_{N}^{-1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{-(N-1)(N-1)} \end{matrix}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/c/9/b/c9b5c5b0574d2a4bb1713d60c4cf1754.png)
![\mathbf{W}=\frac{1}{N}\left[\begin{matrix}w_{N}^{0\cdot 0} & w_{N}^{1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 0} \\w_{N}^{0\cdot 1} & w_{N}^{1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_{N}^{0\cdot (N-1)} & w_{N}^{1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{(N-1)(N-1)} \end{matrix}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/3/b/d/3bddf7d9bd969eb86017ea472d4416e5.png)
Macierze M i W mają wymiar NxN oraz spełniają warunek W = M − 1 lub zapisując inaczej WM = I, gdzie I -
macierz jednostkowa
.
Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera
Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie (m,n) definiujemy jako:
Przekształcenie odwrotne:
Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów.
Zobacz też
