Zbiory miary zero – w analizie matematycznej , teorii mnogości , a przede wszystkim w teorii miary podzbiory rozważanej przestrzeni, które są „małe” lub z punktu widzenia miary .

Definicje

Niech będzie przestrzenią z miarą . Podzbiór A przestrzeni X nazywany jest zbiorem μ-miary zero (lub krótko: zbiorem miary zero, jeśli z kontekstu wynika o jaką miarę chodzi), gdy

• A jest -mierzalny, tzn.
• .

Podzbiory zbiorów miary zero (które nie muszą być mierzalne w przypadku miar, które nie są miara zupełna ) nazywa się zbiorami zaniedbywalnymi (w sensie rozważanej miary). Jeżeli miara nie jest sprecyzowana, to dla przestrzeni euklidesowej przyjmuje się domyślnie miarę Lebesgue'a λ_n, z kolei gdy dyskutowana przestrzeń jest lokalnie zwartą grupą topologiczną , to na ogół mówi się o zbiorach miary zero względem (lewostronnie niezmienniczej) miary Haara .

Mówi się, że pewna własność zachodzi prawie wszędzie, jeżeli zbiór punktów nie mających tej własności jest zbiorem miary zero (względem ustalonej miary).

Przykład

Niech na przestrzeni , wówczas

• są równe prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest zbiorem miary zero,
• ciąg (f_k)_k jest prawie wszędzie zbieżny do f wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest zbiorem miary zero,
• f jest ciągła prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór nie jest ciągła w punkcie jest zbiorem miary zero.

Zbiory miary zero Lebesgue'a

W przypadku miary Lebesgue'a, możemy zdefiniować zbiory miary zero bez odwoływania się bezpośrednio do pojęcia miary.

Niech . Powiemy, że A jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue'a), jeśli dla każdego można wybrać taki ciąg odcinków otwartych , że

oraz

.

Powyżej, dla odcinka otwartego I = (a,b), długość odcinka I wynosi | I | = b − a. Jeśli rozważaną przestrzenią jest , to zamiast odcinków używamy tzw. przedziałów wielowymiarowych , czyli kostek otwartych – zbiorów postaci , gdzie są przedziałami otwartymi oraz

.

Przykłady i własności

Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej , które są miary zero Lebesgue'a.

• Trójkowy klasyczny zbiór Cantora jest zbiorem miary zero. Należy jednak podkreślić, że nie wszystkie zbiory Cantora mają tę własność – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary.
• Prostą rzeczywistą można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, , takich że , a K jest zbiorem pierwszej kategorii .

  Aby podać przykład takich zbiorów ustalmy numerację zbioru liczb wymiernych (przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny ). Dla , niech będzie odcinkiem otwartym o środku w q_n i długości 2 ^{− (n + m)}. Wówczas zbiór jest miary zero, ale jego dopełnienie jest pierwszej kategorii.

• Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville'a : zbiór liczb Liouville'a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
• jest σ-ideałem podzbiorów prostej. Zawiera on wszystkie zbiory jednopunktowe, a więc także i wszystkie zbiory przeliczalne .
• Każdy zbiór z zawarty jest w zbiorze typu Gδ należącym do .
• Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów , które nie są miary zero (w sensie Lebesgue'a) jest co najwyżej przeliczalna.
• Konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli E jest podzbiorem miary zero przestrzeni , to

dla prawie wszystkich ,

dla prawie wszystkich .

• Niech i będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech będzie miarą produktową . Przypuśćmy, że jest zbiorem mierzalnym (tzn. ). Korzystając z twierdzenia Fubiniego można udowodnić, że następujące warunki są równoważne:

(i) ,

(ii) ,

(iii) .

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz : Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN , 1973, ss. 144-145. 
• John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1980, ss. 2-5. 

Zobacz też

• funkcja prawie wszędzie skończona ,
• diagram Cichonia ,
• ideały w teorii mnogości ,
• zbieżność prawie wszędzie .