Drgania swobodne normalne jednowymiarowego układu jednakowych mas
Drgania swobodne (drgania własne) są to
drgania
ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia.
Amplituda
drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) lub od prędkości początkowej (energii kinetycznej) nadanej ciału.
Częstotliwość drgań własnych
Ciała mogą mieć wiele
częstotliwości
drgań własnych. W szczególności częstotliwości te mogą być wielokrotnością częstotliwości najmniejszej (wyższe harmoniczne). Częstotliwość wzbudzania poszczególnych drgań własnych zależy od sposobu wzbudzania i ilości dostarczonej energii. Na przykład dzwon po uderzeniu wykonuje drgania, które powodują drgania
powietrza
słyszane przez nas jako
dźwięk
. Uderzając dzwon w różnych miejscach, z różną siłą, różnymi przedmiotami - spowodujemy, że będziemy słyszeli różnie brzmiące dźwięki - o różnej barwie. Oznacza to, że za każdym razem dzwon wykonuje nieco inne drgania. Drgania te będą różniły się
składem widmowym
, czyli będą wzbudzane drgania własne o różnych częstotliwościach i natężeniach.
Drgania pod wpływem sił sprężystości
- Częstotliwość drgań własnych zależy tylko od własności fizycznych i kształtu ciała, lub układu drgającego, jeżeli drgania wykonywane są pod wpływem wewnętrznych
sił sprężystości
ciała. Na przykład drgania własne
struny
zależą od materiału, z którego wykonana jest struna (dokładniej
modułu Younga
), grubości struny i stopnia jej
naprężenia
.Innym przykładem może być ciało o masie m wykonujące poziome drgania spowodowane oddziaływaniem
sprężyny
o
współczynniku sprężystości
k. Częstotliwość drgań własnych tego układu wyraża wzór
Drgania swobodne pod wpływem sił zewnętrznych
- Siłami będącymi przyczyną drgań własnych może być
siła grawitacji
,
siła oddziaływania elektrostatycznego
i inne. Przykładem drgań własnych wywoływanych zewnętrzną siłą jest
wahadło
. Częstotliwość drgań wahadła zależy nie tylko od jego kształtu i punktu zawieszenia, lecz również od wartości
przyspieszenia grawitacyjnego
. Dlatego częstotliwość ta będzie nieco różna na różnych
szerokościach geograficznych
i zdecydowanie inna na innych
planetach
. W przypadku wahadła fizycznego wzór na częstotliwość drgań własnych ma postać
- gdzie m -
masa
wahadła;
- g -
przyspieszenie ziemskie
;
- d - odległość punktu zawieszenia wahadła od jego
środka ciężkości
;
- I -
moment bezwładności
wahadła.
Drgania harmoniczne
Szczególnym rodzajem drgań swobodnych są
drgania harmoniczne swobodne
zachodzące gdy siła przywracająca równowagę jest proporcjonalna do wychylenia. Drgania takie wykonują ciała sprężyste, jeżeli amplituda drgań nie jest zbyt duża. Dla małych drgań jest spełnione
prawo Hooke'a
, mówiące o proporcjonalności siły do wielkości odkształcenia. Ruch wahadła jest przybliżeniem ruchu harmonicznego. Im mniejszy jest kąt maksymalnego wychylenia wahadła od kierunku pionowego, tym bardziej ruch ten jest zbliżony do ruchu harmonicznego.
Ortogonalne drgania własne
Dla ciał mogących wykonywać drgania własne o różnej częstotliwości, kierunkach lub układach można określić zestaw takich drgań, że każde drganie jest sumą drgań własnych. Drgania takie nazywamy
ortogonalnymi
lub
normalnymi
. Drgania takie zachodzą niezależnie od siebie. Każde drganie ciała, przedstawiające dowolnie skomplikowane drganie, może być jednoznacznie określone jako suma drgań normalnych.
Przykładem są
krzywe Lissajous
wyznaczane przez wahadło wykonujące drgania w dwóch prostopadłych płaszczyznach.
Zobacz też
