Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

Niektórzy autorzy oznaczają element najmniejszy przez .^[]

Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

Niektórzy autorzy oznaczają element największy przez . ^[]

Z definicji wynika, że zarówno element największy jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P.

Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest "większa" od swych dzielników, tzn. m jest "mniejsze" od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną).
Z drugiej strony zbiór liczb G = {2,3,4,6,24} uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G).

Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony:

• zbiór liczb {1,2,3} z naturalnym porządkiem ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3;
• zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego;
• zbiór liczb całkowitych nie ma ani elementu najmniejszego ani największego;

aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego:

• zbiór liczb wymiernych w przedziale domkniętym [0,1] ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale
• zbiory liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych (0,1) oraz
• w przedziale domkniętym o krańcach niewymiernych elementu najmniejszego ani największego nie mają.

Przykład

Jednym z typowych przykładów częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w dowolnej przestrzeni topologicznej. W tym uporządkowaniu istnieje zarówno element najmniejszy jak i największy. Elementem najmniejszym jest zbiór pusty , gdyż zbiór pusty zawiera się w każdym innym podzbiorze przestrzeni. Elementem największym jest cała przestrzeń – gdyż każdy podzbiór przestrzeni zawiera się w tej przestrzeni.

Zobacz też

• ,
• element minimalny i maksymalny .