Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w pewnym układzie odniesienia, jeśli znane są te wielkości w układzie poruszającym się względem pierwszego. Przekształceniu temu podlegają np. współrzędne w czasoprzestrzeni, energia i pęd, prędkość (zarówno wartość jak i kierunek), pole elektryczne i magnetyczne. Wzory transformacyjne zostały wyprowadzone przez Lorentza w oparciu o założenie, że prędkość światła jest stała i niezależna od prędkości układu. Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.

Transformacja współrzędnych

Transformacja Lorentza zachowuje odległości w czasoprzestrzeni. W przeciwieństwie do transformacji Galileusza , gdzie niezmiennikiem jest czas i odległość w przestrzeni, w transformacji Lorentza zachowany jest interwał (odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni), podczas gdy wielkość jednostki czasu i odległości zależy od prędkości układu odniesienia.

Transformacje współrzędnych mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K i poruszającego się K', są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K' porusza się ze stałą prędkością wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach (t = 0) i (t' = 0) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O i O' w obu układach pokrywają się, to transformacje Lorentza są w postaci:

gdzie

lub inaczej

Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła i , transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.

W uogólnieniu macierzowym

Rozpatrujemy czterowektory , których jedną współrzędną (numerowaną od 0) jest składowa czasowa jakiejś wielkości, a pozostałymi trzema współrzędnymi - klasyczne składowe przestrzenne. W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych. Aby uzyskać współrzędne interesujących nas wektorów w innym układzie, należy dokonać transformacji (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina ):

gdzie:

     - wektor w oryginalnym układzie współrzędnych

- wektor w nowym układzie współrzędnych

  - przekształcenie między starym a nowym układem współrzędnych.

Tensorem metrycznym (metryką) przestrzeni Minkowskiego jest macierz 4x4 której składową (0,0) jest -1, pozostałymi składowymi diagonalnymi jest 1, a wszystkimi innymi składowymi - 0. Metrykę oznaczamy literą g. Aby przekształcenie było transformacją Lorentza, musi pozostawiać metrykę niezmienioną, a wyznacznik jego macierzy musi wynosić 1 lub -1.

Podgrupy

Jeżeli zażądamy, żeby wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza był równy dokładnie 1, uzyskamy grupę Lorentza bez odbić przestrzennych.

Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne z wymiarem czasowym są równe 0, z wyjątkiem elementu diagonalnego, który jest równy 1, nazywamy obrotem.

Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne bez wymiaru czasowego są równe 0, z wyjątkiem elementów diagonalnych, które są równe 1, nazywamy pchnięciem. Pchnięcie przekształca układ współrzędnych w układ poruszający się względem oryginalnego ze stałą prędkością.

Przekształcenia Lorentza bez przesunięć (translacji), czyli takie, które przekształcają początek układu współrzędnych w samego siebie, nazywane są jednorodnymi przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza rozpatrywane razem z przesunięciami nazywają się niejednorodnymi przekształceniami Lorentza.

Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznych

Z równań transformacji Lorentza można wyprowadzić wszystkie zjawiska szczególnej teorii względności a także wielkości składowych pól elektrycznego i magnetycznego, które zmieniają się przy zmianie układu odniesienia, jak również określają dodatkowe niezmienniki.

Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda

Istotna dla nas dwuwymiarowa czasoprzestrzeń z perspektywy układu B_x',t' w porównaniu z układem A_x,t jest opisana następującymi równaniami:

Przez długość rozumiemy odległość dwóch punktów x'₁, x'₂ na osi OX' w tej samej chwili t' (ponieważ mierzone ciało jest częścią A, więc z perspektywy B jest w ruchu wzdłuż OX', stąd konieczność zagwarantowania względnie jednoczesnego pomiaru). Najpierw wyrazimy x' za pomocą t':

Obliczmy długość L' (zał. t'₁ = t'₂):

Ponieważ γ > 1, więc ciało o długości spoczynkowej L zmierzonej w układzie A jest z perspektywy układu B krótsze, co potwierdza relatywistyczną kontrakcję.

Dylatacja czasu

Odejmując wyrażenia na transformację Lorentza dla dwu zdarzeń czasoprzestrzennych i definiując przyrosty czasu w każdym z układów odniesienia jako jednostki czasu mierzonego w danym układzie można uzyskać równanie:

.

We wzorze pojawia się dodatkowo różnica odległości w jednym z układów. Zinterpretowanie tej różnicy jako równej zeru powoduje, że porównuje się współrzędne czasowe wyłącznie jednego zdarzenia, ale w dwu układach odniesienia. Uzyskany wzór określa zatem dylatację czasu (γ > 1).

Pole magnetyczne

W teoriach relatywistycznych skalar natężenia pola elektrycznego (E₀) i wektor natężenia pola magnetycznego (B) można połączyć w jeden czterowektor (E).

Rozważmy cząstkę skalarną naładowaną elektrycznie i pozostającą w bezruchu. W pewnej odległości od tej cząstki zarejestrujemy pole elektryczne i brak pola magnetycznego.

Załóżmy następnie, że naładowana cząstka się porusza, czyli zmieniamy układ współrzędnych na poruszający się względem pierwszego wzdłuż pierwszej osi z prędkością v.

E'₀ = γ(E₀ − vcB₁) = γE₀

Czyli poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne.

Czynnik γ jest dla małych prędkości bliski jedności, więc w granicy małych prędkości transformacje Lorentza czterowektora pola elektrycznego sprowadzają się do praw Ampera i Biota-Savarta .