Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Pojęcie forsingu

Pojęcie forsingu

Pojęcie forsingupraporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli ({\mathbb P},\leqslant) jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru {\mathbb P} są nazywane warunkami, a dla p,q\in {\mathbb P} takich że q\leqslant p mówimy że warunek q jest silniejszy niż warunek p. Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Shelah i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu .

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole'a , jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu[1].

Spis treści

Związek z zupełnymi algebrami Boole'a

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole'a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole'a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej .

Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór U\subseteq X jest regularnie otwarty jeśli int(cl(U)) = U (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie RO(X) wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

U+V={\rm int}({\rm cl}(U\cup V)),     U\cdot V=U\cap V   oraz   \sim U=X\setminus {\rm cl}(U).

Wówczas ({\rm RO}(X),+,\cdot,\sim,\emptyset,X) jest zupełną algebrą Boole'a.

Powiemy, że porządek częściowy ({\mathbb P},\leqslant) jest separatywny jeśli dla każdych warunków p,q\in {\mathbb P} takich że q\not\leqslant p można znaleźć warunek r\in {\mathbb P} który jest silniejszy niż q (tzn r\leqslant q) oraz sprzeczny z p (tzn nie ma żadnego warunku s\in {\mathbb P} który by spełniał jednocześnie s\leqslant p oraz s\leqslant r).

Przypuśćmy teraz, że ({\mathbb P},\leqslant) jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla p\in {\mathbb P} połóżmy U_p=\{q\in {\mathbb P}:q\leqslant p\}. Wówczas rodzina \{U_p:p\in {\mathbb P}\} jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze {\mathbb P}. Każdy zbiór Up jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

p\mapsto U_p:{\mathbb P}\longrightarrow {\rm RO}({\mathbb P})

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry {\rm RO}({\mathbb P}) (tzn każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór {\mathbb P} zawiera pewien zbiór Up (p\in {\mathbb P})).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole'a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu identycznościowego na {\mathbb P}.)

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przykłady pojęć forsingu

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych ,
porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli q\leqslant p wtedy i tylko wtedy gdy p\trianglelefteq q);
powyżej, symbol \trianglelefteq oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i \trianglelefteq \ =\ \subseteq).

Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa {\mathcal B}/{\mathcal K}, gdzie {\mathcal B} jest σ- ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej {\mathbb R} a {\mathcal K} jest rodziną wszystkich zbiorów A\in {\mathcal B} które są pierwszej kategorii .

warunkami są te domknięte podzbiory {\mathbb R} które mają dodatnią miarę Lebesgue'a ,
porządkiem jest relacja zawierania (tzn q\leqslant p wtedy i tylko wtedy gdy q\subseteq p).

Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa {\mathcal B}/{\mathcal L}, gdzie {\mathcal B} jest σ-ciałem borelowskich podzbiorów {\mathbb R} a {\mathcal L} jest rodziną tych zbiorów A\in {\mathcal B} które są miary zero .

  • Forsing Lavera[4]:
warunkami są zbiory T skończonych ciągów liczb naturalnych takie że
(a) (\forall t\in T)(\forall n)(t{\upharpoonright} n\in T) oraz
(b) (\exists s\in T)(\forall t\in T)([s\subseteq t\ \vee t\subseteq s]\ \wedge\ [s\subseteq t\ \Rightarrow\ \{n\in {\mathbb N}:t^\frown\langle n\rangle\in T\} jest nieskończony]).
porządkiem jest relacja zawierania (tzn T\leqslant S wtedy i tylko wtedy gdy T\subseteq S).
  • Forsing Mathiasa[5]:
warunkamipary (w,A) takie, że w jest skończonym zbiorem liczb naturalych, A jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz max(w) < min(A),
porządek jest zdefiniowany przez (w',A')\leqslant (w,A) wtedy i tylko wtedy gdy w\subseteq w', A'\subseteq A oraz w'\setminus w\subseteq A.
  • Forsing Hechlera:
warunkamipary (n,f) takie, że n jest liczbą naturalną, a f:\mathbb N \to \mathbb N jest funkcją.
porządek jest zdefiniowany przez (n',f')\le (n,f) wtedy i tylko wtedy gdy n\le n', f(k)\le f'(k) dla każdego k, i f{\upharpoonright} n = f'{\upharpoonright} n
  • Forsing Sacksa:
warunkamidoskonałe podzbiory prostej rzeczywistej {\mathbb R},
porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własności

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

  • Niech κ będzie liczbą kardynalną . Powiemy że pojęcie forsingu ({\mathbb P},\leqslant) spełnia κ-cc jeśli każdy antyłańcuch w {\mathbb P} jest mocy mniejszej niż κ. Jeśli {\mathbb P} spełnia \aleph_1-cc to mówimy wtedy też że {\mathbb P} spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo {\mathbb P} spełnia ccc ("countable chain condition")
  • Dla liczby kardynalnej κ, powiemy że pojęcie forsingu ({\mathbb P},\leqslant) jest ( < κ)-domknięte jeśli każdy łańcuch w {\mathbb P} mocy mniejszej niż κ ma ograniczenie dolne.
  • Niech χ będzie regularną liczbą kardynalną a {\mathcal H}(\chi) będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż χ. Przypuśćmy, że {\mathbb P} jest pojęciem forsingu a N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ({\mathcal H}(\chi),\in) takim, że {\mathbb P}\in N. Powiemy, że warunek q\in {\mathbb P} jest warunkiem (N,{\mathbb P})-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha {\mathcal A}\subseteq {\mathbb P} który należy do modelu N mamy
dla każdego r\in {\mathcal A}, jeśli r,q są niesprzeczne, to r\in N.
(Przypomnijmy, że warunki r,q są niesprzeczne jeśli istnieje warunek s\in {\mathbb P} silniejszy niż oba te warunki.)
Pojęcie forsingu {\mathbb P} jest proper[6][7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej χ istnieje x\in {\mathcal H}(\chi) taki, że:
jeśli N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ({\mathcal H}(\chi),\in), {\mathbb P},x\in N oraz p\in {\mathbb P}\cap N,
to istnieje warunek q\leqslant p który jest (N,{\mathbb P})-generyczny.

Bibliografia

  1. John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise'a. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. .
  2. Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.
  3. Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." (2) 92 1970 s.1-56.
  4. Laver, Richard: On the consistency of Borel's conjecture. "Acta Math." 137 (1976), no. 3-4, s. 151-169.
  5. Mathias, A.R.D.: Happy families. "Ann. Math. Logic" 12 (1977), no. 1, s. 59-111.
  6. Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. .
  7. Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.

Zobacz też


Inne hasła zawierające informacje o "Pojęcie forsingu":

Rodzimy Kościół Polski ...

Guwernantka ...

Autorytet ...

Sztuka ...

Numer kierunkowy ...

Pokój ...

Oddziaływanie elektromagnetyczne ...

Zbór ...

Świadomość społeczna ...

Zawał mięśnia sercowego ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Pojęcie forsingu":

11 LISTOPADA (plansza 1) ...

215 Sytuacja gospodarcza na świecie (plansza 11) ...

021. Monady G.W. Leibniza (plansza 22) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie