Pojęcie forsingu – praporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru są nazywane warunkami, a dla takich że mówimy że warunek q jest silniejszy niż warunek p. Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Shelah i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu .

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole'a , jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu^[1].

Związek z zupełnymi algebrami Boole'a

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole'a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole'a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej .

Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór jest regularnie otwarty jeśli int(cl(U)) = U (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie RO(X) wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

,       oraz   .

Wówczas jest zupełną algebrą Boole'a.

Powiemy, że porządek częściowy jest separatywny jeśli dla każdych warunków takich że można znaleźć warunek który jest silniejszy niż q (tzn ) oraz sprzeczny z p (tzn nie ma żadnego warunku który by spełniał jednocześnie oraz ).

Przypuśćmy teraz, że jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla połóżmy . Wówczas rodzina jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze . Każdy zbiór U_p jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry (tzn każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór zawiera pewien zbiór U_p ()).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole'a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu identycznościowego na .)

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przykłady pojęć forsingu

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

• Forsing Cohena ^[2]:

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych ,

porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli wtedy i tylko wtedy gdy );

powyżej, symbol oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i ).

Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa , gdzie jest σ- ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej a jest rodziną wszystkich zbiorów które są pierwszej kategorii .

• Forsing Solovaya ^[3]:

warunkami są te domknięte podzbiory które mają dodatnią miarę Lebesgue'a ,

porządkiem jest relacja zawierania (tzn wtedy i tylko wtedy gdy ).

Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa , gdzie jest σ-ciałem borelowskich podzbiorów a jest rodziną tych zbiorów które są miary zero .

• Forsing Lavera^[4]:

warunkami są zbiory T skończonych ciągów liczb naturalnych takie że

(a) oraz

(b) jest nieskończony]).

porządkiem jest relacja zawierania (tzn wtedy i tylko wtedy gdy ).

• Forsing Mathiasa^[5]:

warunkami są pary (w,A) takie, że w jest skończonym zbiorem liczb naturalych, A jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz max(w) < min(A),

porządek jest zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy gdy , oraz .

• Forsing Hechlera:

warunkami są pary (n,f) takie, że n jest liczbą naturalną, a jest funkcją.

porządek jest zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy gdy , dla każdego k, i

• Forsing Sacksa:

warunkami są doskonałe podzbiory prostej rzeczywistej ,

porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własności

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

• Niech κ będzie liczbą kardynalną . Powiemy że pojęcie forsingu spełnia κ-cc jeśli każdy antyłańcuch w jest mocy mniejszej niż κ. Jeśli spełnia -cc to mówimy wtedy też że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc ("countable chain condition")
• Dla liczby kardynalnej κ, powiemy że pojęcie forsingu jest ( < κ)-domknięte jeśli każdy łańcuch w mocy mniejszej niż κ ma ograniczenie dolne.
• Niech χ będzie regularną liczbą kardynalną a będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż χ. Przypuśćmy, że jest pojęciem forsingu a N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem takim, że . Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha który należy do modelu N mamy

dla każdego , jeśli r,q są niesprzeczne, to

(Przypomnijmy, że warunki r,q są niesprzeczne jeśli istnieje warunek silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu jest proper^[6][7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej χ istnieje taki, że:

jeśli N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem , oraz ,

to istnieje warunek który jest -generyczny.

Bibliografia

1. ↑ John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise'a. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. .
2. ↑ Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.
3. ↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." (2) 92 1970 s.1-56.
4. ↑ Laver, Richard: On the consistency of Borel's conjecture. "Acta Math." 137 (1976), no. 3-4, s. 151-169.
5. ↑ Mathias, A.R.D.: Happy families. "Ann. Math. Logic" 12 (1977), no. 1, s. 59-111.
6. ↑ Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. .
7. ↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.

Zobacz też

• ,
• aksjomaty ZFC ,
• forsing ,
• proper forsing
• MA ,
• PFA .