Pojęcie forsingu –
praporządek
używany w teorii
forsingu
i jej zastosowaniach.
Jeśli
jest pojęciem forsingu, to elementy
zbioru
są nazywane warunkami, a dla
takich że
mówimy że warunek q jest silniejszy niż warunek p. Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie
Saharon Shelah
i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery
alfabetu
.
Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.
W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o
zupełne algebry Boole'a
, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu[1].
Związek z zupełnymi algebrami Boole'a
Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole'a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole'a regularnie
otwartych
podzbiorów
przestrzeni topologicznej
.
Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór
jest regularnie otwarty jeśli int(cl(U)) = U (gdzie int jest operacją
wnętrza
zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie RO(X) wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:
,
oraz
.Wówczas
jest zupełną algebrą Boole'a.
Powiemy, że
porządek częściowy
jest separatywny jeśli dla każdych warunków
takich że
można znaleźć warunek
który jest silniejszy niż q (tzn
) oraz sprzeczny z p (tzn nie ma żadnego warunku
który by spełniał jednocześnie
oraz
).
Przypuśćmy teraz, że
jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla
połóżmy
. Wówczas
rodzina
jest
bazą
pewnej topologii τ na zbiorze
. Każdy zbiór Up jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry
(tzn każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór
zawiera pewien zbiór Up (
)).
Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole'a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do
izomorfizmu
identycznościowego
na
.)
W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień aby otrzymać separatywny porządek częściowy.
Przykłady pojęć forsingu
Rodzina pojęć forsingu stosowanych w
teorii mnogości
jest olbrzymia. Duża część
publikacji
prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.
- warunkami są skończone
ciągi
p
liczb naturalnych
,
- porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli
wtedy i tylko wtedy gdy
); - powyżej, symbol
oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i
).
Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa
, gdzie
jest σ-
ciałem
borelowskich
podzbiorów
prostej rzeczywistej
a
jest rodziną wszystkich zbiorów
które są
pierwszej kategorii
.
- warunkami są te
domknięte
podzbiory
które mają dodatnią
miarę Lebesgue'a
, - porządkiem jest relacja
zawierania
(tzn
wtedy i tylko wtedy gdy
).
Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa
, gdzie
jest σ-ciałem borelowskich podzbiorów
a
jest rodziną tych zbiorów
które są
miary zero
.
- warunkami są zbiory T skończonych ciągów liczb naturalnych takie że
- (a)
oraz - (b)
jest nieskończony]).
- porządkiem jest relacja zawierania (tzn
wtedy i tylko wtedy gdy
).
- warunkami są
pary
(w,A) takie, że w jest skończonym zbiorem liczb naturalych, A jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz max(w) < min(A),
- porządek jest zdefiniowany przez
wtedy i tylko wtedy gdy
,
oraz
.
- warunkami są
pary
(n,f) takie, że n jest liczbą naturalną, a
jest funkcją. - porządek jest zdefiniowany przez
wtedy i tylko wtedy gdy
,
dla każdego k, i 
- warunkami są
doskonałe
podzbiory
prostej rzeczywistej
, - porządkiem jest relacja zawierania.
Rozważane własności
W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.
- Niech κ będzie
liczbą kardynalną
. Powiemy że pojęcie forsingu
spełnia κ-cc jeśli każdy
antyłańcuch
w
jest mocy mniejszej niż κ. Jeśli
spełnia
-cc to mówimy wtedy też że
spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo
spełnia ccc ("countable chain condition") - Dla liczby kardynalnej κ, powiemy że pojęcie forsingu
jest ( < κ)-domknięte jeśli każdy
łańcuch
w
mocy mniejszej niż κ ma ograniczenie dolne. - Niech χ będzie regularną liczbą kardynalną a
będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż χ. Przypuśćmy, że
jest pojęciem forsingu a N jest
przeliczalnym
elementarnym podmodelem
takim, że
. Powiemy, że warunek
jest warunkiem
-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha
który należy do modelu N mamy
dla każdego
, jeśli r,q są niesprzeczne, to 
- (Przypomnijmy, że warunki r,q są niesprzeczne jeśli istnieje warunek
silniejszy niż oba te warunki.) - Pojęcie forsingu
jest proper[6][7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej χ istnieje
taki, że:- jeśli N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem
,
oraz
, - to istnieje warunek
który jest
-generyczny.
Bibliografia
- ↑ John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise'a. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. .
- ↑ Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.
- ↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." (2) 92 1970 s.1-56.
- ↑ Laver, Richard: On the consistency of Borel's conjecture. "Acta Math." 137 (1976), no. 3-4, s. 151-169.
- ↑ Mathias, A.R.D.: Happy families. "Ann. Math. Logic" 12 (1977), no. 1, s. 59-111.
- ↑ Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. .
- ↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
Zobacz też