Całkami eliptycznymi nazywamy ważną klasę całek postaci

(1)

gdzie jest funkcją wymierną zmiennych x i y, a jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4. Całki tego rodzaju, w których za zmienną y podstawimy dowolną funkcję algebraiczną zmiennej x, taką że

gdzie jest wielomianem względem zmiennych x i y nazywa się czasem całkami Abela . Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy , stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych . Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne . Na przykład funkcja eliptyczna Weierstrassa jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

tzn. , o ile .

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek

gdzie h jest parametrem zespolonym . Całek tych, jak pokazał Liouville , nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie t=sinφ, dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek

które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre'a. Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich, które traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do ψ oznaczamy za Legendre'm odpowiednio F(k,ψ) i E(k,ψ).

Parametr k występujący w funkcjach F i E nazywamy modułem.

Całki eliptyczne F i E nazywamy też całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych danych wzorami

Wartości całek eliptycznych zupełnych K i E są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznaych.

Praktyczną korzyścią z tabelaryzacji całek eliptycznych jest możliwość policzenia przybliżonego obwodu elipsy . Na przykład dla a=2 i b=1 mamy mimośród e=0,866. Obwód wtedy jest równy 4aE(e) czyli w przybliżeniu dla powyższych wartości 9,68.

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.