Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Okrąg opisany na wielokącie

Okrąg opisany na wielokącie

Wpisany w okrąg wielokąt z zaznaczonymi symetralnymi.

Okrąg opisany na wielokącie okrąg , na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta.

Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy , gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie . Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie niewypukłym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta , prostokąta oraz wielokąta foremnego .

Spis treści

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach równych odpowiednio a, b, c wynosi:

R=\frac{1}{4P}abc (gdzie P jest polem trójkąta)

Promień możemy wyznaczyć też z twierdzenia sinusów , ze wzoru:

2R={a \over \sin\alpha} = {b \over \sin\beta} = {c \over \sin\gamma}

Przykład

Wystarczy znać długość boku i leżącego naprzeciwko niego kąta, np. mając dane a i α obliczamy

R=\frac{a}{2sin\alpha}

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy c/2. Przeciwprostokątna c jest zarazem średnicą tego okręgu, a kąt prosty trójkąta - oparty na średnicy.

Z kolei w przypadku trójkąta równobocznego o boku a stosuje się wzór:

R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{a \sqrt 3}{3}


Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie

Twierdzenie. Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe π.

\alpha+\beta=\gamma+\delta=\pi\;

Dowód

Okrąg opisany na czworokącie

Kąty α i α' oraz β i β' są parami kątów opartych na tym samym łuku. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartych na tym samym łuku otrzymujemy następujące zależności:

\alpha^\prime = 2\alpha\;
\beta^\prime = 2\beta\;

Jednocześnie kąty α' i β' tworzą razem kąt pełny. Zatem:

\alpha^\prime+\beta^\prime = 2\pi\;
2\alpha+2\beta = 2\pi\;
\alpha+\beta = \pi\;

Analogicznie postępujemy dla drugiej pary kątów.

Zobacz też


Inne hasła zawierające informacje o "Okrąg opisany na wielokącie":

Oddychanie komórkowe ...

Melos ...

Ewolucja ...

Nałęcz (herb szlachecki) ...

Układ nerwowy ...

Ziemia ...

Człowiek ...

Tęcza ...

Plezjozaur ...

Elipsa ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Okrąg opisany na wielokącie":

Iteracja - algorytmy iteracyjne (plansza 12) ...

Wiązania chemiczne w świetle mechaniki kwantowej (plansza 17) ...

Kąt środkowy i kąt wpisany (plansza 5) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie