Obraz – zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny . Przeciwobraz danego podzbioru przeciwdziedziny funkcji to zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy wspomnianego podzbioru.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej oznacza funkcję zbioru X w zbiór Y.

Obraz elementu

Jeżeli x jest elementem X, to f(x) = y, czyli wartość funkcji f na elemencie x, nazywa się obrazem x poprzez f.

Obraz zbioru

Obrazem zbioru w funkcji f nazywa się podzbiór wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór

Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki f[A] oznacza się zwykle symbolem f(A). Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez f jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru X, a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru Y.

Obraz funkcji

Obraz f[X] całej dziedziny X nazywa się zwykle obrazem funkcji f. Do innych oznaczeń należą również f(X) (j.w.), (ang. image – obraz).

Przeciwobraz

Niech f oznacza funkcję zbioru X w zbiór Y. Przeciwobrazem zbioru względem f nazywa się podzbiór zbioru X określony wzorem

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem lub krótko f ^{− 1}[y] nazywa się również włóknem nad y bądź poziomicą lub warstwicą y. Zbiór wszystkich włókien nad elementami Y tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez Y. Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Raz jeszcze, jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to f ^{− 1}[B] można oznaczać symbolem f ^{− 1}(B) i myśleć o f ^{− 1} jako o funkcji ze zbioru potęgowego Y w zbiór potęgowy X. Oznaczenie f ^{− 1} może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej , które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy f jest bijekcją .

Notacja

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą^[1] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa

gdzie

gdzie

Notacja gwiazdkowa

zamiast

zamiast

Inne

Alternatywną notacją f[A] wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest f''A.

W niektórych pracach obraz f nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji f postaci bądź (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

Przykłady

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania

Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego .

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego .

• określona wzorem

  Obrazem zbioru {2,3} poprzez f jest Obrazem funkcji jest {a,c}. Przeciwobrazem a jest f ^{− 1}[a] = {1,2}. Przeciwobrazem {a,b} również jest {1,2}. Przeciwobrazem {b,d} jest zbiór pusty {}.

• dana wzorem f(x) = x².

  Obrazem { − 2,3} w f jest a obrazem f jest Przeciwobraz {4,9} w f to Przeciwobrazem zbioru w f jest zbiorem pustym, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych .

• dana wzorem f(x,y) = x² + y².

  Włóknami (poziomicami) f ^{− 1}[a] są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych , sam początek i zbiór pusty , w zależności od wartości parametru a, odpowiednio: a > 0, a = 0 oraz a < 0.

• Jeżeli M jest rozmaitością , a jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej na M, to przestrzenie styczne dla Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności

Niech dana będzie funkcja Dla wszystkich podzbiorów oraz zachodzą następujące własności:

• obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny,

  oraz

• działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:

  (równość dla funkcji „na” ),

  (równość dla funkcji różnowartościowej ),

  

• operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne , tzn.

  oraz

  

• prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:

  

  (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa),

  

  

• zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:

  

• z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów :

  

  .

• istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:

  

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą ( Boole'a ) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech będzie rodziną indeksowaną podzbiorów X, a będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Y. Wówczas

oraz

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat , zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru względem złożenia dwóch funkcji oraz dany jest wzorem:

Zobacz też

• ,
• jądro funkcji,
• dziedzina , przeciwdziedzina ,
• obraz w teorii kategorii.

Literatura

• Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991. . 
• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, .
• Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Fibre na PlanetMath , który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Przypisy