Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Hamiltonian

Hamiltonian

Spis treści

Mechanika klasyczna

W klasycznej mechanice teoretycznej hamiltonian (funkcja Hamiltona ) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

H=H\left( q_1,...,q_N,p_1,...,p_N,t  \right)

gdzie qj oznaczają współrzędne uogólnione, pj pędy uogólnione, N liczbę stopni swobody , a t czas.

Sformułowanie lagranżowskie

Funkcję Hamiltona można wyprowadzić z lagranżjanu .

\mathcal{L}= \mathcal{L}(q_1,\dots,q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)

gdzie qj oznacza współrzędne uogólnione, \dot q_j prędkości uogólnione, t czas. Dla każdej prędkości uogólnionej wprowadzamy odpowiadający jej pęd kanonicznie sprzężony zdefiniowany jako

p_j = {\partial \mathcal{L}  \over \partial \dot{q}_j}

W szczególnym przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom . We współrzędnych walcowych pęd odpowiadający prędkości kątowej odpowiada momentowi pędu . W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

W tym ujęciu Hamiltonian definiowany jest jako transformacja Legendre'a Lagranżjanu , tzn.

H\left( q_1,...,q_N,p_1,...,p_N,t  \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(  q_1,\dots,q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t  )

Przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych przez pędy uogólnione (Hamiltonian jest jawną funkcją pędów uogólnionych). Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej hamiltonian jest operatorem energii . Używa się go do opisywania wszystkich układów kwantowych , a więc występuje on w najrozmaitszych formach. W najprostszym przypadku kwantowej cząstki nierelatywistycznej poruszającej się w potencjale skalarnym jest równy

H=\frac{1}{2m}\vec{p}^2+U(\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +U(\vec{x})

Wartości własne hamiltonianu

H |n\rangle =E_n |n\rangle

mają sens energii układu w stanie \vert n \rangle.

Jeżeli założymy że hamiltonian \mathcal{H} nie zależy od czasu, to rozwiązaniem równania:

i\hbar \frac{d}{dt} \vert \alpha_{s}(t)\rangle = \mathcal{H}\vert \alpha_{s}(t)\rangle, \ \ \ -i\hbar \frac{d}{dt} \langle \alpha_{s}(t) \vert  = \langle \alpha_{s}(t) \vert \mathcal{H} ponieważ \mathcal{H}^{\dagger} = \mathcal{H}.

są:

\vert\alpha_{s}(t)\rangle = U(t)\vert\alpha_{s}(t_{0})\rangle, \ \ \ \langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t_{0}) \vert U^{\dagger}(t)

gdzie

U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}*(t-t_{0})} jest operatorem ewolucji w czasie. A \vert \alpha_{s}(t) \rangle jest wektorem stanu w obrazie Schrödingera.

Zobacz też


Inne hasła zawierające informacje o "Hamiltonian":

Doświadczenie Sterna-Gerlacha ...

Zasada nieoznaczoności ...

Reguła Pauliego ...

Stan podstawowy ...

Zjawisko tunelowe ...

Równanie Schrödingera ...

Równanie Diraca ...

Mechanika kwantowa ...

Kwantowa teoria pola ...

Hamiltonian klasyczna1.1 Sformułowanie lagranżowskie2 Mechanika kwantowa3 Zobacz też Mechanika klasycznaW klasycznej mechanice teoretycznej Hamiltonian (funkcja Hamiltona ) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Hamiltonian":

Hasło nie występuje w innych lekcjach!





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie