Funkcja kwadratowa – funkcja wielomianowa drugiego stopnia , tzn. postaci

f(x) = ax² + bx + c,

gdzie a,b,c są pewnymi stałymi , przy czym (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do przypadku funkcji liniowej ; to założenie będzie obowiązywać w całym artykule). Funkcja kwadratowa realizuje pewien wielomian ^[1] (drugiego stopnia), z tego powodu nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Ze względu na porządne własności edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistych dziedzinie , przeciwdziedzinie oraz współczynnikach.

Postacie

O funkcji kwadratowej danej wzorem

f(x) = ax² + bx + c,

gdzie a,b,c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, mówi się, że jest w postaci ogólnej lub wielomianowej. Skoro

to funkcję kwadratową można przedstawić również wzorem

f(x) = a(x − p)² + q,

gdzie , zaś . Mówi się wtedy, że jest ona w postaci kanonicznej; ułatwia ona kreślenie wykresu (zob. wykres). Wyrażenie

Δ = b² − 4ac

nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej f. Ponieważ

o ile tylko wyróżnik Δ jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek ), to funkcję wielomianową f daje się przedstawić w postaci iloczynowej, która ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych (zob. miejsca zerowe):

.

Przedstawienie takie jest zawsze możliwe w dziedzinie zespolonej : jeżeli Δ < 0, to

,

gdzie i jest jednostką urojoną .

Miejsca zerowe

• Oznaczając wyżej

  oraz

otrzymuje się wzór

f(x) = a(x − x₁)(x − x₂),

gdzie x₁,x₂ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej dla Δ > 0.

• Jeżeli Δ = 0, to i funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu przez nią realizowanego; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne), czyli można ją zapisać wzorem

  f(x) = a(x − p)².

• Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdy Δ < 0. Nadal istnieją jednak dwa rozwiązania w liczbach zespolonych (por. zasadnicze twierdzenie algebry ) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia , są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète'a wynika (także w dziedzinie zespolonej), iż

Wykres

Funkcja kwadratowa dla różnych wartości współczynników

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę . Jej wierzchołkiem jest punkt (p,q), gdzie p,q są dane jw, który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor [p,q] względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią OX układu. W szczególności , co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We wspomnianym układzie, przy zachowaniu skali:

• a > 0 daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi OY, jeżeli a < 0, to są one skierowane przeciwnie;
• zwiększanie | a | sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”, jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”;
• zmiana b powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią OY przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem OX, jeżeli b < 0 i przeciwnie do niego, jeżeli b > 0;
• parametr c odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż OY zgodnie z jej zwrotem, gdy c > 0 i przeciwnie do niego, gdy c < 0.

Własności i przebieg zmienności

Niżej zakłada się, iż :

dziedzina i przeciwdziedzina  

określona w całej dziedzinie; zbiorami wartości są przedział dla a > 0 i przedział dla a < 0;

monotoniczność  

maleje (rośnie) w przedziale , po czym rośnie (maleje) w przedziale dla ;

ciągłość , różniczkowalność , całkowalność  

w całej dziedzinie, funkcja gładka ; całkowalna w sensie Riemanna , Lebesgue'a itd.

pochodne

,

,

dla n > 2;

pierwotna

;

ekstrema  

jedno ekstremum globalne w punkcie p (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla a > 0 i maksimum dla a < 0 (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);

wypukłość  

wypukła dla a > 0 i wklęsła dla a < 0 (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);

parzystość i nieparzystość  

parzysta wyłącznie dla p = 0, nigdy nieparzysta;

okresowość , punkty przegięcia i asymptoty  

brak.

Konforemność

Funkcja kwadratowa w(z) = z², gdzie jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) z w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) w. Siatka izotermicznatemperaturowa!?^[] z składa się z dwóch rodzin hiperbol :

Punktami stałymi tego odwzorowania są 0 oraz 1^[2].

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna - matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. . 

Zobacz też

• ,
• jednorodna funkcja kwadratowa
• równanie kwadratowe , równanie dwukwadratowe ,
• funkcja liniowa .

Przypisy