Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa - funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia B przy pomocy wartości całki Lebesgue'a z tej funkcji po zbiorze B. O funkcji gęstości mówi się w konkteście rozkładów prawdopodobieństwa na prostej jak i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi. Często mówi się o gęstości zmiennej losowej w sensie gęstości rozkładu zmiennej losowej.

Spis treści

Definicja

Niech P będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni \mathbb{R}^N (w szczególności rozkładem na prostej dla N = 1). Funkcję borelowską f\colon \mathbb{R}^N\to \mathbb{R} nazywamy gęstością rozkładu P gdy dla każdego zbioru borelowskiego B\subseteq \mathbb{R}^N

P(B)=\int\limits_B f(x) dx.

Jeśli f jest gęstością rozkładu P, to w szczególności, na mocy powyższej definicji:

\int\limits_{\mathbb{R}^N} f(x) dx=1.

W drugą stronę, każda nieujemna funkcja borelowska f, spełniająca powyższy warunek, jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.

Wybrane własności w przypadku jednowymiarowym

Dystrybuanta

Załóżmy, że f jest gęstością rozkładu P. Wówczas

\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt=P((-\infty, x])=F_P(x),

gdzie FP jest dystrybuantą rozkładu P – gęstość (o ile istnieje) pozwala przy swojej pomocy wyrazić w prosty sposób dystrybuantę rozkładu, co często bywa przydatne, gdy dystrybuanta nie daje się wyrazić w sposób elementarny (np. rozkład normalny ). Z powyższego związku między gęstością a dystrybuantą można zauważyć, że warunkiem koniecznym istnienia gęstości jest aby dystrybuanta rozkładu była prawie wszędzie ciągła – nie jest to jednak warunek wystarczający – istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. dystrybuanta Cantora ). Warunkami wystarczającymi na istnienie gęstości dla danego rozkładu jest bezwzględna ciągłość bądź ograniczone wahanie jego dystrybuanty.

Jeśli F jest dystrybuantą to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna oraz jeśli F^\prime (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.

Wartość oczekiwana

Jeżeli X jest jednowymiarową zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością f(x), to jej wartość oczekiwana wyraża się wzorem:

E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x) dx.

Suma zmiennych losowych

Jeżeli X i Yniezależnymi zmiennymi losowymi oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły, jeśli ponadto obydwie mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest splotem ich gęstości.

Mechanika kwantowa

W kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej wszelkie obserwowalne własności cząstek (na przykład ich położenia , pędy , energie ) opisywane są funkcjami falowymi . Przeprowadzenie pomiarów tej samej wielkości mierzalnej (tzw. obserwabli ) w identycznych układach o identycznych stanach kwantowych może prowadzić do różnych wyników. W istocie, wynik pomiaru jest zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa. W przypadku, gdy mierzoną wielkością jest położenie cząstki w stanie opisywanym funkcją falową \psi (r)\, gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie r\, dana jest równaniem:

\rho (r) \;=\; \psi (r)^{*}\cdot \psi (r) \;=\; \left| \psi (r) \right|^{2}

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone .


Inne hasła zawierające informacje o "Funkcja gęstości prawdopodobieństwa":

Biskup ...

Canelli ...

Diakon ...

Mioglobina ...

Dzielnica miasta ...

Mer (urzędnik) ...

Eunectes ...

Stratyfikacja termiczna wody w jeziorze ...

Ciałko nerkowe ...

Stanisław Małachowski ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Funkcja gęstości prawdopodobieństwa":

Świat roślinny i zwierzęcy w Polsce (plansza 15) ...

Komunikacja językowa (plansza 12) ...

02. System gospodarki rynkowej (plansza 14) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie