Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25
Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to
pozycyjny system liczbowy
, w którym podstawą jest liczba
2
. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry:
0
i
1
.
Historia
Używał go już
John Napier
w
XVI wieku
, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b.[1].
Wykorzystanie
pierwsze dziesięć liczb w systemie dwójkowymw systemie
dziesiętnym | w systemie
dwójkowym |
|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 10 |
| 3 | 11 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
| 10 | 1010 |
Powszechnie używany w
elektronice cyfrowej
, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w
informatyce
.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako
ciągi
cyfr
, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu.
Np.
liczba
zapisana w
dziesiętnym systemie liczbowym
jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks. Np.
W systemie dwójkowym można przedstawiać również
liczby rzeczywiste
. Na przykład
liczby dziesiętne
o podstawie 2 można zapisać jako:
ułamek zwykły:
(nawiasem oznaczono okres ułamka)
Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:
Zmiany systemu
Zamiana z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd. Ponieważ 
oraz 
aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:
Rozbicie na sumę potęg liczby 2:
Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc 3010 = 111102.
Działania na liczbach w systemie dwójkowym
Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym, i opierają się na elementarnych działaniach:
- 1+ 0 = 1
- 1 + 1 = 10
- 1* 0 = 0
- 1 * 1 = 1
- 10 - 1 = 1
Przykład dodawania w systemie dwójkowym.
111111 1111111 + 10011 10010010
Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:
1111111 - 10011 1101100
A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:
11101- 10110 00111
(zera z lewej strony można wykreślić).
Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.
Przypisy
- ↑ Human choice and computers; , 2002 r.
Zobacz też
