B jest jednym z punktów brzegowych figury.

Brzeg zbioru (figury, bryły) - pojęcie w geometrii lub topologii , zbiór punktów przestrzeni, których każde otoczenie zawiera punkty należące zarówno do zbioru , jak i jego dopełnienia .

Brzeg zbioru F zazwyczaj oznaczamy .

Punkty należące do brzegu nazywane są też punktami brzegowymi a sam brzeg zbiorem punktów brzegowych.

Przykłady

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach 1-6

Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią . Wówczas:

• ,
• ,
• ,
• ,
• .

Ostatnie trzy przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być zbiorem "większym" niż sam zbiór.

Własności

• Brzeg zbioru jest zbiorem domkniętym .B.

• Brzeg zbioru i brzeg jego dopełnienia są równe: (X jest całą przestrzenią topologiczną, nie posiada więc brzegu).
• Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
• Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem.
• Domknięcie zbioru jest równe sumie zbioru i jego brzegu.
• Brzeg zbioru jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty.
• W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Poniższe zależności pozwalają zdefiniować brzeg zbioru w inny sposób:

• 
• .

oraz oznaczają tutaj operacje domknięcia i wnętrza .

Zdefiniowane wyżej pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni w jakiej dany zbiór się znajduje. Jako przykład niech posłuży koło

W naturalnej topologii przestrzeni brzeg koła tworzy okrąg K₂:

Zanurzenie K w powoduje, iż koło

jest swoim własnym brzegiem – .

natomiast w topologii zrelatywizowanej do K jego brzeg jest zbiorem pustym .

Złożenia funkcji brzegu

Dla dowolnego zbioru S mamy , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy brzeg zbioru S nie zawiera żadnych punktów wewnętrznych , tj. jest zbiorem brzegowym . Ma to miejsce na przykład wtedy, gdy S jest zbiorem otwartym lub domkniętym. Z kolei, ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, mamy dla dowolnego zbioru S.

Omawiane tu pojęcie brzegu różni się od tego, z którym spotykamy się w teorii rozmaitości lub topologii algebraicznej podczas badania kompleksów symplicjalnych .

Zobacz też

wnętrze , zewnętrze .