Algorytm – w matematyce oraz informatyce skończony, uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań. Słowo "algorytm" pochodzi od starego angielskiego słowa algorism, oznaczającego wykonywanie działań przy pomocy liczb arabskich (w odróżnieniu od abacism - przy pomocy abakusa ), które z kolei wzięło się od nazwiska, które nosił Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي), matematyk perski z IX wieku ^[1].

Algorytm ma przeprowadzić system z pewnego stanu początkowego do pożądanego stanu końcowego. Badaniem algorytmów zajmuje się algorytmika. Algorytm może zostać zaimplementowany w postaci programu komputerowego lub dla innego urządzenia . Kiedy podczas tego procesu programista popełni błąd ( ang. bug), może to doprowadzić do poważnych konsekwencji np. błędy w implementacji algorytmów bezpieczeństwa mogą ułatwić popełnienie przestępstwa komputerowego .

Jako przykład stosowanego w życiu codziennym algorytmu podaje się często przepis kulinarny . Dla przykładu, aby ugotować bigos należy w określonej kolejności oraz odstępach czasowych ( imperatyw czasowy) dodawać właściwe rodzaje kapusty i innych składników. Może istnieć kilka różnych przepisów dających na końcu bardzo podobną potrawę. Przykład ten ma wyłącznie charakter poglądowy, ponieważ język przepisów kulinarnych nie został jasno zdefiniowany. Algorytmy zwykle formułowane są w sposób ścisły w oparciu o język matematyki.

W niektórych krajach, jak USA , algorytmy mogą zostać opatentowane , jeżeli zostaną zaimplementowane w jakimś praktycznym celu. Niektórzy twierdzą, że patentowanie algorytmów spowalnia rozwój informatyki , bo jeden producent może uzyskać monopol , np. na pisanie oprogramowania tworzącego pewne typy plików (np. GIF ). Wiele koncernów komputerowych prowadzi między sobą prawnicze spory dotyczące praw własności do niektórych patentów. Kontrargumentem jest tzw. prawo własności intelektualnej (jaką objęty jest np. utwór muzyczny, będący wytworem intelektu i pracy muzyka) zakładające, że program jest intelektualną własnością twórcy.

Algorytmy komputerowe

Implementacja

Komputery przetwarzają przekazywane im informacje z wykorzystaniem algorytmów. Program jest algorytmem zapisanym w języku zrozumiałym dla maszyny ( kodzie maszynowym ). Każdy poprawny kod maszynowy da się przełożyć na zestaw instrukcji dla teoretycznego modelu komputera – maszyny Turinga .

Zwykle algorytmy pracują na danych wejściowych i uzyskują z nich dane wyjściowe. Informacje zapisane w pamięci maszyny traktuje się jako jej stan wewnętrzny. Niektóre algorytmy mają za zadanie wyłącznie przeprowadzanie komputera z jednego stanu wewnętrznego do innego.

Każdy algorytm komputerowy musi być wprowadzony do komputera w bardzo rygorystycznie zdefiniowanym języku . Ludzie często komunikując się przesyłają między sobą informację wieloznaczne. Komputery mogą reagować tylko na całkowicie jednoznaczne instrukcje. Jeżeli dany algorytm da się wykonać na maszynie o dostępnej mocy obliczeniowej i pamięci oraz akceptowalnym czasie, to mówi się że jest obliczalny.

Poprawne działanie większości algorytmów implementowanych w komputerach opiera się na kolejnej realizacji pewnego zestawu warunków. Jeżeli któryś z nich nie zostanie spełniony, to program kończy się komunikatem błędu. Czasami podczas implementacji algorytmu ważny warunek zostanie pominięty. Dla przykładu, mamy program dzielący przez siebie dwie liczby. Użytkownik poleca wykonać dzielenie przez zero . Działanie aplikacji, która nie sprawdzi warunku “dzielnik nierówny zero”, zostanie przerwane przez system operacyjny komputera.

Warianty definicji

Istnieje wiele, nie zawsze równoważnych, definicji algorytmu.

Ta sekcja jest . Jeśli możesz, .

Definicja klasyczna

• Algorytm to jednoznaczny przepis przetworzenia w skończonym czasie pewnych danych wejściowych do pewnych danych wynikowych.

Zazwyczaj przy analizowaniu bądź projektowaniu algorytmu zakłada się, że dostarczane dane wejściowe są poprawne, czasem istotną częścią algorytmu jest nie tylko przetworzenie, ale i weryfikacja danych.

Zgodnie z założeniem o jednoznaczności dla identycznego zestawu danych początkowych, algorytm zdefiniowany klasycznie zawsze zwróci identyczny wynik.

Przykład

Np. wzór na pole kwadratu o boku a (P = a²) określa prosty algorytm:

• Jako dane wejściowe pobierz wartość długości boku kwadratu.
• Oblicz wartość pola – wynikiem jest szukana wartość pola kwadratu.
• Zwróć obliczoną wartość pola kwadratu.

Formalnie

• Algorytm to skończony ciąg działań elementarnych, który określa sposób otrzymania rozwiązania zadania z danych wejściowych. Załóżmy, że zadanie ma polegać na obliczeniu wartości wyniku dla danych wejściowych . Niech:

i .

Rozwiązanie zadania jest równoważne wyznaczeniu wartości pewnej wielowartościowej funkcji wektorowej , , gdzie jest dana przez m+1 funkcji rzeczywistych :

W każdym etapie obliczeń zbiór argumentów składa się z pierwotnych wartości wejściowych x_i lub z wartości obliczonych w poprzednich etapach. Pojedyncze działanie wyznacza nową wartość z jednego lub więcej elementów zbioru (aktualnych) argumentów. Nowa wartość jest wynikiem pośrednim lub końcowym, w obu przypadkach jest dołączana do zbioru argumentów. Następnie z tego zbioru usuwane są wszystkie elementy, które nie będą argumentami podczas pozostałych obliczeń. Elementy końcowe zbioru argumentów wyznaczą jednoznacznie rozwiązanie .

Zapisując kolejne zbiory argumentów jako wektory:

można z działaniem elementarnym związać odwzorowanie elementarne

takie, że

Wektor jest przedstawieniem przekształconego zbioru argumentów. Odwzorowanie elementarne jest wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do kolejnych współrzędnych

Algorytm a opisujący go język

Należy zdawać sobie sprawę z różnicy między algorytmem, będącym "niezależnym" od jego implementacji przepisem, a programem , który może zostać zinterpretowany i wykonany przez komputer. Przykładowo, poniższe fragmenty programów są realizacją tego samego "algorytmu", sumującego trzy trójki:

Dodawanie w języku C :

  wynik  = 3;  wynik += 3;  wynik += 3;

Ten sam język, ale z pętlą :

  wynik = 0;  for (int i = 0; i < 3; ++i) wynik += 3;

Język C, zapis proceduralny :

  int alg(int n) {    if(n == 3)      return 0;            else      return 3 + alg(n + 1);  }   void main() {    int wynik = alg(0);  }

Asembler x86:

   mov eax, 0                   # zeruje akumulator   add eax, 3                   # dodaje 3 do akumulatora   add eax, 3                        add eax, 3                        mov 0EF21A29Ch, eax          # kopiuje zawartość akumulatora do komórki pamięci

Powyższe "programy" napisane są w różnych językach programowania , używających różnych poziomów abstrakcji, przy czym zapis w asemblerze jest na najniższym poziomie abstrakcji, tj. jest najbliżej "prawdziwego", wykonywanego bezpośrednio przez procesor komputera, kodu .

Klasyfikacja

Istnieje wiele różnych sposobów podziału algorytmów na grupy. Problem ten wzbudza kontrowersje.

Podstawowe paradygmaty tworzenia algorytmów komputerowych:

• dziel i zwyciężaj – dzielimy problem na kilka mniejszych, a te znowu dzielimy, aż ich rozwiązania staną się oczywiste,
• programowanie dynamiczne – problem dzielony jest na kilka, ważność każdego z nich jest oceniana i po pewnym wnioskowaniu wyniki analizy niektórych prostszych zagadnień wykorzystuje się do rozwiązania głównego problemu,
• metoda zachłanna – nie analizujemy podproblemów dokładnie, tylko wybieramy najbardziej obiecującą w tym momencie drogę rozwiązania,
• programowanie liniowe – oceniamy rozwiązanie problemu przez pewną funkcję jakości i szukamy jej minimum,
• poszukiwanie i wyliczanie – kiedy przeszukujemy zbiór danych aż do odnalezienia rozwiązania,
• algorytm probabilistyczny – algorytm działa poprawnie z bardzo wysokim prawdopodobieństwem , ale wynik nie jest pewny,
• heurystyka – człowiek na podstawie swojego doświadczenia tworzy algorytm, który działa w najbardziej prawdopodobnych warunkach, rozwiązanie zawsze jest przybliżone.

Najważniejsze techniki implementacji algorytmów komputerowych

• proceduralność – algorytm dzielimy na szereg podstawowych procedur , wiele algorytmów współdzieli wspólne biblioteki standardowych procedur, z których są one wywoływane w razie potrzeby,
• praca sekwencyjna – wykonywanie kolejnych procedur algorytmu, według kolejności ich wywołań, na raz pracuje tylko jedna procedura,
• praca wielowątkowa – procedury wykonywane są sekwencyjnie, lecz kolejność ich wykonania jest trudna do przewidzenia dla programisty
• praca równoległa – wiele procedur wykonywanych jest w tym samym czasie, wymieniają się one danymi,
• rekurencja – procedura lub funkcja wywołuje sama siebie, aż do uzyskania wyniku lub błędu,
• obiektowość – procedury i dane łączymy w pewne klasy reprezentujące najważniejsze elementy algorytmu oraz stan wewnętrzny wykonującego je urządzenia.

Przykłady

• algorytm Euklidesa
• algorytm Fermata
• algorytm Luhna
• algorytmy sortowania
• algorytmy kompresji
• algorytmy sztucznej inteligencji
• algorytmy przeszukiwania drzew: min-max i alpha-beta
• algorytm unifikacji
• algorytmy kryptograficzne
• algorytm genetyczny
• algorytm kwantowy
• algorytm mrówkowy

Błędy w implementacji

Wciąż rozwijana inżynieria oprogramowania pozwala na tworzenie aplikacji których kod źródłowy ma setki tysięcy linii, przy równoczesnym zachowaniu kontroli nad całością projektu, co pozwala zminimalizować ilość błędów podczas implementacji algorytmów.

Algorytmy poza komputerami

Implementacja algorytmu w ogólności oznacza występowanie pewnego podobieństwa algorytmu opisanego w ludzkim języku do fizycznego zjawiska lub procesu. Czasami algorytm może być podstawą budowy przez ludzi urządzenia, jak np. komputer. Jednak o implementacji możemy mówić również, kiedy pewien system zachowuje się podobnie do algorytmu. Dla przykładu mózg ptaka implementuje arytmetykę w postaci sieci neuronowej . Dzięki temu zwierzę jest w stanie porównywać pewne odstępy czasu. W przypadku maszyn algorytm może zostać zaimplementowany jako pewna sieć połączeń elektrycznych, pneumatycznych bądź mechanicznych. Przykładem może być tutaj analogowy regulator obrotów z pierwszych silników parowych, realizujący algorytm P (proporcjonalny). Przy takim podejściu sukces nie oznacza zatrzymanie algorytmu, lecz utrzymywanie pewnego stanu systemu. Możemy np. powiedzieć, że algorytm utrzymywania życia działa poprawnie, aż do śmierci organizmu. Poprawny algorytm ma utrzymywać pewne parametry żywej istoty (np. temperaturę ) w optymalnym zakresie.

Przyszłość algorytmów

Ograniczenia algorytmów

Prawidłowy algorytm komputerowy musi kiedyś zakończyć swoją pracę. Oznacza to, że problem musi być rozwiązany z wykorzystaniem dostępnych zasobów obliczeniowych w skończonym czasie. Jeżeli czas obliczeń algorytmu dla coraz większego zbioru danych rośnie szybciej niż dowolna funkcja wielomianowa, to mówi się że nie jest praktycznie obliczalny . Jedną z klas problemów, dla których nie znamy wielomianowych rozwiązań, są problemy NP-trudne . Jeśli znamy wielomianowy algorytm weryfikujący poprawność rozwiązania problemu NP-trudnego, to problem ten nazywamy NP-zupełnymi . Pytanie, czy P=NP, czyli czy istnieją szybkie algorytmy rozwiązujące problemy NP-zupełne, jest najsłynniejszym problemem otwartym we współczesnej informatyce. Dodatkowo istnieją problemy nierozwiązywalne za pomocą żadnego algorytmu - tzw. problemy nierozstrzygalne .

Algorytmy sztucznej inteligencji

Wiele problemów związanych z codziennym życiem to problemy NP-trudne . Przykłady to znajdowanie najkrótszej trasy łączącej pewną liczbę miast i optymalne pakowanie plecaka . Oznacza to, że szybkie algorytmy mogą radzić sobie w takimi problemami tylko w przybliżeniu lub w bardzo szczególnej sytuacji. Sterowany algorytmem przybliżonym robot nie potrafi odnaleźć najkrótszej drogi w bardzo złożonym środowisku, mimo że dla człowieka może być ona oczywista.

Inżynierowie próbują rozwiązywać problemy NP-trudne przez naśladowanie żywych organizmów. Jeżeli nie da się sformułować jasnego algorytmu rozwiązującego dany problem, można maszynę wyposażyć w zdolność do samodzielnego uczenia się. Zagadnieniem tym zajmuje się dział określany jako sztuczna inteligencja . Tego podejścia nie należy mylić z ludzką inteligencją. Maszyny naśladują tylko pewne cechy istot żywych, ale na razie nie są w stanie im dorównać na wielu polach.

Algorytmy genetyczne

Jest to cała grupa algorytmów służąca do poszukiwania najlepszych rozwiązań danego problemu. Zasada ich działania opiera się na obserwacji praw natury i przeniesieniu ich na grunt informatyki. U podstaw algorytmów genetycznych znajduje się dobór naturalny oraz dziedziczność. Najlepiej przystosowane jednostki (niosące rozwiązania zbliżone do właściwego) są powielane oraz krzyżowane ze sobą w celu powielenia informacji. Bardzo wiele rzeczywistych problemów można rozwiązać w ten sposób. Zobacz więcej o algorytmach genetycznych .

Algorytmy kwantowe

Jednym z problemów NP-zupełnych jest łamanie kodów. Istnieją pewne algorytmy szyfrowania ( RSA , DES ), dla których szybkie znalezienie kluczy wymaga bardzo dużej mocy obliczeniowej. Tutaj rozwiązaniem mogą okazać się algorytmy zaimplementowane w komputerach kwantowych . W odróżnieniu od komputerów elektronicznych opartych na bitach , te kwantowe mają posługiwać się qubitami oraz zjawiskiem splątania . Pewne własności tych maszyn powodują, że niektóre problemy N-P zupełne dają się rozwiązać w jednym takcie obliczeń. Gdyby komuś udało się zbudować komputer kwantowy , byłby w stanie złamać wszystkie dzisiaj używane algorytmy kryptograficzne. Dużym problemem komputerów kwantowych jest dekoherencja ich stanów. W ten sposób bardzo łatwo może dojść do utraty danych. Rozwiązaniem ma być tutaj wykorzystanie splątania do teleportacji stanu kwantowego na kolejne cząstki elementarne . W związku z tym wielu naukowców pracuje już dziś nad implementacją algorytmów kryptografii kwantowej . Przykładem jest tutaj szyfrowanie danych z wykorzystaniem splątanych fotonów . Obecnie kierunki prac nad komputerami kwantowymi:

• fotonika – komputery oparte na fotonach,
• spinotronika – komputery operujące spinem elektronów zamiast napięcia.

Algorytmy równoległe

Jednym ze sposobów rozwiązywania złożonych problemów jest zastosowanie algorytmów równoległych. Oznacza to, że program nie jest wykonywany tylko jeden raz na jednym procesorze , ale równolegle na wielu różnych maszynach. Podejście to stosuje się od lat w superkomputerach . Jednak w takiej realizacji jest ono bardzo kosztowne. Nowym pomysłem jest tutaj zastosowanie sieci zwykłych komputerów tworzących klaster . Zadanie jest rozdzielane na wiele maszyn i obliczane równolegle w tysiącach komputerów. Czasami taką potężną sieć nazywa się z j. angielskiego grid. Przykłady to program SETI@home , gdzie dane z nasłuchu kosmosu , analizowały dziesiątki tysięcy komputerów należących do zwykłych użytkowników. Maszyny były podłączone do Internetu , przez który przesyłały wyniki pracy uruchomionych na nich aplikacji. Nowym pomysłem na implementację algorytmów równoległych jest wykorzystanie do tego DNA . W jednej kropli wody znajdują się miliony cząstek tego kwasu . Jeżeli zsyntetyzujemy je tak, aby wykonywały pewien algorytm, to w ułamku sekundy potrzebnym na reakcje chemiczne komputer oparty na DNA znajdzie rozwiązanie bardzo złożonego problemu. Przykładem są tutaj bakterie , które zaprogramowano, aby mrugały rytmicznie światłem. Dziedzina nauki zajmująca się algorytmami w połączeniu z biologią to bioinformatyka .

Przykład algorytmu

Wyobraź sobie, że masz nieposortowaną listę przypadkowych liczb. Masz znaleźć największą z nich. Istnieje wiele algorytmów rozwiązujących ten problem. Jeden z najszybszych można przedstawić jako listę poleceń:

1. Rozpocznij pracę
2. Stwórz rejestr przechowujący bieżącą wartość elementu tabeli i wczytaj do niego pierwszy element listy, jeżeli to się nie uda, wypisz na wyjście wartość błędną.
3. Stwórz rejestr przechowujący największą liczbę, nadaj jej bieżącą wartość elementu tabeli.
   1. Początek pętli - wczytaj kolejny element tabeli, a jeżeli to się nie uda, zakończ pętlę.
   2. Jeżeli bieżąca wartość elementu tabeli, jest większa od rejestru największej liczby, to wpisz ją do tego rejestru.
   3. Powróć do początku pętli.
4. Wypisz na wyjście wartość z rejestru największej liczby.
5. Zwolnij rejestr bieżącej wartości oraz największej liczby i zakończ pracę, wypisując na wyjście wartość sukcesu.

Historia algorytmów

Początki

Słowo algorytm pochodzi od nazwiska arabskiego matematyka z IX wieku Muhammeda ibn Musa Alchwarizmiego . Początkowo słowem algorism nazywano czynności konieczne do wykonywania obliczeń z użyciem dziesiętnego systemu liczbowego . Obecne znaczenie słowa algorytm jako zestawu ścisłych reguł powstało wraz z rozwojem matematyki i techniki. Wynalezienie zbiorów zasad pozwalających na obliczanie parametrów konstruowanych maszyn, stało się podstawą rewolucji przemysłowej zapoczątkowanej w końcu XVIII stulecia. Jednak dopiero zbudowanie maszyn, które same mogły realizować pewne proste algorytmy, stało się przełomem. Początkowo miały one postać układów mechanicznych mogących dokonywać prostych obliczeń.

Ogromnego postępu dokonał w tej dziedzinie w 1842 roku Charles Babbage , który na podstawie swoich doświadczeń sformułował ideę maszyny analitycznej zdolnej do realizacji złożonych algorytmów matematycznych. W pracy Babbage wspierała Ada Lovelace , która przetłumaczyła dla niego prace włoskiego matematyka dotyczące algorytmu obliczania liczb bernoulliego . Prace Lovelace dotyczące implementacji na maszynę różnicową tego algorytmu zawierały opis swoistego języka programowania . Niestety, Babbage nigdy nie zbudował swojego mechanicznego komputera. Programy napisane przez Lovelace zostały przetestowane na modelu maszyny różnicowej wykonanym w XX wieku i okazały się poprawne.

Rozwój maszyn liczących

Wraz z wynalezieniem pod koniec XIX wieku kart perforowanych elektro-mechaniczne maszyny osiągnęły zdolność realizacji algorytmów przetwarzających ogromne zbiory danych. Karty perforowane stały się wejściem, z którego dane przetwarzały proste algorytmy sumujące. Jako wyjście służyły odpowiednie zegary. Ogromny postęp w tej dziedzinie zawdzięczamy firmie IBM , która zbudowała tego typu urządzenia, aby policzyć wszystkich mieszkańców USA .

W XX wieku postęp elektroniki pozwolił na budowę maszyn analogowych potrafiących w swoim wnętrzu odtwarzać pewne algorytmy matematyczne. Mogły one dokonywać operacji arytmetycznych oraz różniczkować i całkować .

Komputery

Zanim zbudowano pierwsze komputery, istniały już solidne podstawy informatyki teoretycznej. Algorytm wyrażony w najprostszym z możliwych języków okazał się dla urządzeń najlepszy. Na początku lat trzydziestych XX wieku ukazało się kilka niezależnie opracowanych matematycznych modeli wykonywania algorytmów. Najsłynniejszym została Maszyna Turinga zaproponowana w pracy On Computable Numbers autorstwa Alana Turinga , genialnego brytyjskiego matematyka uznawanego za ojca informatyki. Jednocześnie okazało się, że wszystkie modele są sobie równoważne, tj. każdym z nich można wyrazić dowolny algorytm oraz zasymulować działanie jednego modelu na innym (patrz: Kompletność Turinga ). Okazało się, że nawet najbardziej złożone algorytmy można wyrazić za pomocą prostego matematycznego opisu i kilku elementarnych operacji. Maszyna Turinga miała składać się z głowicy czytająco-piszącej przesuwającej się po nieskończonej taśmie. W każdym kroku mogła zmienić wartość danej komórki taśmy, przesunąć się w lewo lub prawo oraz zmienić swój stan.

Pierwszy mechaniczny komputer zdolny, jak się później okazało, do wykonywania wszystkich algorytmów, powstał już w 1936 roku w Niemczech. Nazywał się Z1 , a jego twórcą był niemiecki inżynier Konrad Zuse , który zaprojektował swoją maszynę zupełnie niezależnie od prac brytyjskich i angielskich matematyków. Z powodu ogromnej zawodności, w 1941 roku ukończył jej kopię bazującą na układach przekaźnikowych, Z3 . Znalazła ona zastosowanie przy projektowaniu skrzydeł samolotów. Z3 miał wiele cech współczesnego komputera; wszystkie liczby reprezentowane były w systemie binarnym , programy wprowadzano na kartach perforowanych, a do wprowadzania danych służyła klawiatura. W Wielkiej Brytanii oraz USA pierwsze komputery zbudowane na początku lat 40. miały ściśle określone zadanie łamania niemieckich szyfrów oraz wykonywania obliczeń na potrzeby wojska. Dopiero w 1944 roku skonstruowano tam programowalną maszynę zdolną do wykonywania wszystkich algorytmów, ENIAC . Pracowała ona w systemie dziesiętnym, a programowania dokonywano poprzez przełączanie odpowiednich kabli.

W ostatnich trzydziestu latach, dzięki upowszechnieniu komputerów osobistych , informatyka stała się bardzo ważną gałęzią gospodarki. Na świecie pracują miliony programistów zajmujących się tworzeniem oraz doskonaleniem oprogramowania lub poszukiwaniem nowych, efektywniejszych algorytmów. Wraz z opieraniem na komputerach funkcjonowania całego społeczeństwa, coraz większą wagę przykłada się do wyszukiwania błędów w implementacjach lub założeniach algorytmów, co jest procesem trudno poddającym się automatyzacji i wymagającym żmudnej pracy całych zespołów hackerów i programistów.

Przypisy

Zobacz też

• algorytmy sortujące
• automatyczne dowodzenie twierdzeń
• język programowania
• struktury danych
• system operacyjny
• teoria obliczeń
• dowód poprawności algorytmu

Bibliografia

• Neil Gershenfeld i Isaac L. Chuang, "Molekularne komputery kwantowe"; Świat Nauki, sierpień 1998
• Nadrian C. Seeman, "Na granicy życia i nanotechnologii"; Świat Nauki, lipiec 2004 Dymek
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein "Wprowadzenie do algorytmów (nowe wydanie)";WNT, wyd. VI 2004

Linki zewnętrzne

• ( pol. ) http://www.algorytm.org/ - algorytmy i struktury danych
• ( pol. ) http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algorytmy_i_struktury_danych - ogólnodostępny skrypt do przedmiotu Algorytmy i Struktury Danych
• ( ang. ) http://www.algana.co.uk/ - darmowe kody źródłowe podstawowych algorytmów w Javie i C
• ( ang. ) http://www.dcc.uchile.cl/~rbaeza/handbook/ - inna strona z kodami źródłowymi
• ( ang. ) http://www.nist.gov/dads/ - słownik algorytmów i struktur danych
• ( ang. ) http://www.nr.com - algorytmy numeryczne