Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie
PrezentacjaForumPrezentacja nieoficjalnaZmiana prezentacji
Filozoficzna refleksja nad matematyką

Od 01.01.2015 odwiedzono tę wizytówkę 2236 razy.
Chcesz zwiększyć zainteresowanie Twoją jednostką?
Zaprezentuj w naszym informatorze swoją jednostkę ->>>
* szkolnictwo.pl - najpopularniejszy informator edukacyjny - 1,5 mln użytkowników miesięcznie



Platforma Edukacyjna - gotowe opracowania lekcji oraz testów.



 

Filozoficzna refleksja nad matematyką – jako nauką - ujętą w kontekście historycznym.



Niniejsza praca, jak wskazuje sam jej tytuł jest filozoficznym namysłem nad matematyką - nauką, z którą każdy z nas zaznajomiony jest (w mniejszym bądź większym stopniu) od najmłodszych lat własnej edukacji, a której niejeden z nas (tak jak autorka tej pracy) uczy w szkołach na różnym szczeblu edukacji. Idąc śladem Romana Murawskiego – autora m.in. „Filozofii matematyki. Zarys dziejów” wywód ma formę historycznego studium dotyczącego rozwoju filozoficznej refleksji nad matematyką. Pomysł napisania tego artykułu powstał w oparciu o pytania, nad którymi, jak sądzę powinniśmy się, szczególnie my nauczyciele matematyki, od czasu do czasu zastanowić. Pytania te w postaci jakiej ja sama swego czasu sobie postawiłam brzmią: Czego tak naprawdę uczymy mając na myśli matematykę, co jest specyficzne dla tej nauki, jaka jest jej geneza i podstawy, czego dotyczy i dlaczego warto nauczać właśnie tej dyscypliny? Pytania o cel, przedmiot i metodę (jak w każdej dziedzinie wiedzy) są z gruntu filozoficzne, skłaniają bowiem do teoretycznego namysłu, a w następstwie tego do refleksji nad daną dyscypliną, w tym przypadku nad matematyką. Jeżeli chodzi o kompozycję praca ma charakter raczej szkicu do historycznego zarysu, a zainteresowanych głębiej historią matematyki odsyłać będzie do pozycji z literatury, z których pisząc ów szkic sama korzystałam. Odnosić się będzie do myśli i kultury europejskiej, nie odejmując przy tym osiągnięć innych kultur w dziedzinie matematyki (starożytny wschód , Egipt, Babilon, Chiny, kraje arabskie) , przedstawiając jednocześnie poglądy wybranych filozofów i matematyków dotyczących statusu istnienia obiektów matematycznych (w szczególności liczby oraz nieskończoności). Jednak to w starożytnej Grecji, za sprawą pierwszych filozofów (Tales, Heraklit, Pitagoras itd.) ludzka wiedza nabrała charakteru racjonalnego namysłu nad zastaną rzeczywistością, a matematyka oprócz praktycznego zastosowania jakie miała np.: w starożytnym Egipcie stała się dyscypliną teoretyczną. Grecy potrafili doskonale korzystać z osiągnięć innych ludów nadając jednocześnie zdobytej wiedzy charakter spekulatywny. Tak też było z matematyką . „W starożytnej Grecji obserwujemy już całkiem nowe zjawisko – narodziny nauki opartej na ścisłych dowodach”. Ponieważ to właśnie starożytna Grecja jest kolebką naszej współczesnej kultury i nauki dlatego wywód niniejszej pracy zaczniemy od tego miejsca i czasu.


SRAROŻYTNA GRECJA.

VI wiek p. n. e. to czas szczególny dla rozwoju naszej nauki, której początek dała jońska szkoła filozofii przyrody. Za tradycyjnego ojca nie tylko matematyki ale całej europejskiej filozofii uznaje się Talesa z Miletu. Wiadomości o nim dotarły do nas szczególnie dzięki dziełom późniejszych myślicieli. Opierając się na zachowanej do dziś historii geometrii ucznia Arystotelesa - Eudemosa z Rodos - żyjący w V w. n.e. Proklos Diadochus świadczy, że Tales wykazał, iż średnica dzieli okrąg na dwie połowy, znalazł twierdzenie o równości kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego, odkrył, że przy przecięciu się dwóch prostych otrzymuje się równe kąty, udowodnił twierdzenie o równości dwóch trójkątów - mających równe jeden bok i dwa kąty. Nie wiadomo nic o dowodach Talesa. Najprawdopodobniej posługiwał się załamywaniem i nakładaniem figur.
Choć jak słusznie zauważa Murawski, źródła filozofii matematyki znaleźć można dopiero u Platona – „od niego bowiem zaczyna się systematyczna refleksja filozoficzna nad matematyką” , to nie można pominąć szkoły pitagorejskiej. Tradycja przypisuje Pitagorasowi gruntowne przeobrażenie matematyki, o czym również wspomina Proklos: „Pitagoras przekształcił tę naukę w formę swobodnego kształcenia. Naukę tę uprawiał wychodząc z pierwszych jej podstaw i starał się dowodzić twierdzeń za pomocą czysto logicznego myślenia, nie posługując się konkretnymi pojęciami. Odkrył teorię niewymierności (lub proporcji) i konstrukcję pięciu brył kosmicznych” , (tzn. wielościanów foremnych). Za najdoskonalsze ciało pitagorejczycy uważali kulę i tak pojmowali wszechświat. Liczba natomiast była dla nich podstawową zasadą bytu. Ważne jest to, że liczbę traktowali jako wielkość przestrzenną i realną w przyrodzie nie zaś jako twór abstrakcyjny.
Wykorzystując swoją ontologię do matematyki, Platon sądził, iż istnieją niezależne od czasu, przestrzeni i umysłu ludzkiego obiekty takie jak: „jeden”, „dwa”, „trzy” itd. (tzw. idee arytmetyczne). Tak samo istnieją obiekty tj.: „punkt”, „prosta”, „okrąg” (idee geometryczne ). Przedmioty matematyki należą więc do świata idei (wiecznego i niezmiennego), a matematyka która opisuje je i związki między nimi zachodzące jest nauką o ideach. Matematyk nie tworzy przedmiotów matematyki i ich własności, a jedynie odkrywa je i opisuje. Dokonuje tego oczywiście dzięki rozumowi, który jest podstawą poznania matematycznego. Właściwą przy tym metodą matematyki staje się metoda aksjomatyczna („Platon był bodaj pierwszym w historii, który obmyślił tę metodę” ). To właśnie matematyka najbardziej przystaje do platońskiego ideału wiedzy. Matematyka czysta posiada bowiem charakter pojęciowy, bada niezmienne idee i zachodzące między nimi związki. Matematyka stosowana natomiast dotyczy rzeczy i ich relacji w zmiennym świecie empirycznym. Jako że rzeczy wykazują jedynie pewien sposób podobieństwa do swych wzorów (idei), twierdzenia matematyki w pewnym tylko stopniu stosują się do świata rzeczy poznawalnych zmysłowo. Dla Platona język matematyki służył do opisania części prawdziwej rzeczywistości, jaką stanowią byty matematyczne w wiecznym świecie idei, a sama matematyka nie miała być idealizacją poznawalnego zmysłami świata rzeczy. Matematyka (w rozumieniu Platona) jest więc opisem pewnych faktów, które nie zależą ani od czasu, ani od przestrzeni, ani od poznającego umysłu.(Stanowisko takie w filozofii nazwane zostało jako skrajny realizm. Chodzi tutaj o to, że nawet gdyby nie było na świecie ani jednego umysłu poznającego, to i tak wtedy istniałby świat liczb, figur geometrycznych i innych bytów matematycznych oraz wzajemne między nimi relacje.) Matematyk wystawiony zostaje zatem do konfrontacji z wieczną, niezmienną i niezależną rzeczywistością przedmiotów matematycznych, a jego zadaniem jest tę rzeczywistość opisać . W tym miejscu przychodzi na myśl drugie motto z cytowanej już pracy Murawskiego: „ Nie jestem człowiekiem religijnym, ale gdy rozmyśla się nad matematyką, to jest to prawie tak, jakby miało się kontakt z Bogiem”.
Arystoteles, który sam przez długi okres był uczniem Platona, sprowadził nauki swego mistrza nieco bardziej „na ziemię” . Stagiryta jednak oprócz rozprawy O matematyce – o której wspomina Diogenes Laertios , a której treść nie jest nam znana, nie poświęcił matematyce oddzielnych prac. Sporo fragmentów mówiących o matematyce odnaleźć jednak można w jego dziełach poświęconych metodologii i logice. Zdaniem Arystotelesa, który odrzucił Platońską teorię idei, matematyka nie jest nauką o niezależnych bytach idealnych – nadrzędnych wobec świata rzeczy, ale nauką o obiektach matematycznych wydobywanych z rzeczy na zasadzie abstrakcji. Pojęcia ogólne (idee, powszechniki), są formami albo istotami rzeczy i istnieją w rzeczach (jest to tzw. realizm umiarkowany). Wszelka wiedza oparta jest na pojęciach ogólnych, które nie wymagają i nie posiadają definicji oraz sądach ogólnych nie mających i nie wymagających dowodu. Natomiast wszystkie inne pojęcia należy zdefiniować, a tezy wydedukować z tez wyjściowych. Jedną z największych zasług Stagiryty dla matematyki było sformułowanie problemu nieskończoności. Arystoteles jako pierwszy odróżnił dwa matematyczne rodzaje nieskończoności: nieskończoność potencjalną – jako możliwość nieograniczonego przedłużania pewnego ciągu czy procesu, oraz nieskończoność aktualną – jako aktualnie istniejący obiekt nieskończony. Dopuszczał przy tym (w matematyce) istnienie tylko tej pierwszej, uważając, że nieskończoność aktualna jest w matematyce zbędna. Można jego zdaniem przedłużać w nieskończoność dowolny ciąg np. liczb naturalnych, czy kolejne podziały danego odcinka. Nie przyjmował jednak takiego ciągu w formie zakończonej, zamkniętej całości, którą można traktować jak odrębny przedmiot. Nie dopuszczał tym samym istnienia takiego zbioru, który dziś nazwalibyśmy zbiorem liczb naturalnych N. (Sama możliwość wykonywania bez ograniczeń następnych kroków wcale nie gwarantuje i nie pociąga za sobą tego, że istnieje ostatni krok.) Takie ujęcie problemu nieskończoności okazało się bardzo wygodne i funkcjonujące do dzisiaj (np. rozważania G. Cantora, którego teoria zbiorów nieskończonych stanowi niebagatelny wkład do matematycznej teorii nieskończoności.) W matematyce Arystoteles zauważał także pierwiastek estetyczny. Jego zdaniem matematyka ujawnia elementy piękna, które jest jedną z sił napędowych tej nauki. „Głównymi formami piękna są porządek, symetria i wyrazistość, czym odznaczają się szczególnie nauki matematyczne”.
Mimo, że Euklides nie wniósł nowych myśli i idei do filozofii matematyki, należy jednak zwrócić uwagę na znaczenie jego głównego dzieła, jakim są Elementy. Dzieło to stanowi z jednej strony podsumowanie trzystu lat działalności matematyków greckich, a z drugiej ustanawia fundament dalszego rozwoju matematyki (z wyraźnym wpływem Platona i Arystotelesa). Wykład Elementów oparty jest na logicznym wyprowadzaniu twierdzeń z układu definicji, aksjomatów i postulatów (wpływ metodologii Arystotelesa, a metoda aksjomatyczno – dedukcyjna świadczy również o wpływie Platona, wg którego najwłaściwszą dla matematyki jest metoda aksjomatyczna). Dzięki zastosowaniu tej metodologii Elementy stały się pierwszym systemem dedukcyjnym w matematyce (choć szczegółowe badania dopatrzyły się w nim wielu luk, nie umniejsza to znaczenia tego dzieła dla metodologii matematyki). Dzieło Euklidesa stało się wzorem wykładu naukowego, ustanawiając pewien model i standard – wyznaczyły paradygmat matematyki funkcjonujący aż do końca wieku XIX. Księgi dotyczące geometrii były przez ponad dwadzieścia stuleci powszechnie używanym (wielokrotnie przepisywanym, później wydanym drukiem i tłumaczonym na wiele języków) podręcznikiem! Można więc powiedzieć, że dzięki Euklidesowi i jego Elementom matematyka stała się wewnętrznie zorganizowanym systemem.

ŚREDNIOWIECZE

Uprawiana przez filozofów scholastyków matematyka spekulatywna nie zginęła całkowicie w wiekach średnich. Studium myśli Platona i Arystotelesa w połączeniu z rozważaniami na temat istoty bóstwa doprowadzało do bardzo subtelnych spekulacji nad naturą ruchu, ciągłości i nieskończoności. Najpierw zgodnie z Arystotelesem odrzucano istnienie nieskończoności aktualnej, jednak już św. Augustyn w Civitas Dei przyjął istnienie całego ciągu liczb całkowitych jako aktualnej nieskończoności. Jego pogląd w tej kwestii był tak dobrze sformułowany, że kilkanaście wieków później, twórca teorii mnogości (o którym będzie mowa później) – G. Cantor zauważył, że pozaskończoności nie można bardziej energicznie pragnąć, lepiej określić i obronić, niż to uczynił św. Augustyn. Św. Tomasz z Akwinu zgadzał się z tym, że „nie istnieje nieskończoność aktualna” (o której mówił Arystoteles), jednak rozpatrywał każde kontinuum jako potencjalnie podzielne w nieskończoność (czyli nie istniałby w ten sposób najkrótszy odcinek, gdyż każda część odcinka ma własności odcinka, a punkt nie był więc częścią odcinka, ponieważ był on niepodzielny; „coś ciągłego nie może składać się z niepodzielnych”). Rozważania te wywarły wpływ na późniejszych twórców rachunku nieskończoności oraz na filozofów pozaskończoności (m.in. na G Cantora) . Wśród poglądów średniowiecznych dotyczących filozofii matematyki na uwagę zasługują również kwestie podjęte przez Mikołaja z Kuzy (1401-1464), który był matematykiem, ale przede wszystkim jak większość myślicieli średniowiecznych - teologiem. Tak też idee matematyczne i teologiczne są u niego wzajemnie powiązane. Kuzańczyk rozróżnił liczby (będące przedmiotem matematyki), na te, których źródłem jest umysł ludzki oraz te, które pochodzą z umysłu Boga. Pierwsze są tylko odbiciami tych drugich. Co w rzeczach jest mierzalne, stanowi, wg Mikołaja, urzeczywistnienie liczb pochodzących od Boga. Liczby matematyki są dziełem ludzkim i istnieją tylko w naszych umysłach (konceptualizm). Autor Liber de mente podobnie ujmuje przedmioty geometrii. Próbując wyjaśnić w jaki sposób człowiek tworzy w swym umyśle obiekty matematyczne, Kuzańczyk powołuje się na ludzką zdolność asymilacji czy też abstrahowania. Interesujące są szczególnie jego uwagi na temat nieskończoności (nieskończoność matematyczna jest dla Mikołaja próbą zbliżenia się do nieskończoności Boga). Daje się ona uchwycić w matematyce poprzez umysł za pomocą pojęć. Nie można jej jednak poznać zmysłowo. Nieskończoność nie może być zrealizowana w żadnym procesie, bowiem wśród rzeczy i procesów dających się uchwycić zmysłami, nie ma takich, które nie mogłyby być powiększone.

NOWOŻYTNOŚĆ

Rene Descartes (1596-1650) znany w Polsce jako Kartezjusz uważany jest przez tradycję za „ojca nowożytnej filozofii”. Ale był on również doskonałym matematykiem, wnosząc istotny wkład w rozwój tej dyscypliny, a metodę matematyczną stosował w swych wywodach filozoficznych. Descartes dał początek geometrii analitycznej (Geometrie – 1637). Stosując konsekwentnie dobrze już rozwiniętą algebrę XVII w. do analizy geometrycznej starożytnych, przyczynił się do zjednoczenia tych dwóch teorii. Matematyka miała być wzorcem wszelkiej nauki stosując metody analityczne, dopuszczając tylko dedukcję i intuicję, a kryterium pewności w nauce stanowić miały – jasność i wyraźność idei. Metoda analityczna pozwalać miała na wykrywanie prostych składników myśli, a to co proste było dla niego jasne i wyraźne, a więc pewne. Kartezjusz dążył do stworzenia powszechnej wiedzy racjonalnej zbudowanej na kształt matematyki. Według niego bowiem tylko matematycy umieją znajdować dowody, a dzięki temu dostarczać wiedzy pewnej.
Blaise Pascal (1623-1662) genialny matematyk, fizyk i filozof (czy jak woleliby niektórzy apologeta chrześcijański) rozgraniczył w swojej myśli porządek serca od porządku rozumu. „serce ma swoje racje, których rozum nie zna”. Nas będzie tu jedynie obchodził porządek rozumu, w którym (podobnie jak Kartezjusz), za wzorzec postępowania i myślenia uważał matematykę, a zwłaszcza geometrię. W Rozważaniach ogólnych nad geometrią pisał: „Jest to niemal jedyna dziedzina nauki ludzkiej, która przytacza dowody niezbite, gdyż ona jedna jest naprawdę metodyczna, podczas gdy we wszystkich innych z przyrodzonej konieczności panuje jakiś zamęt, którego są w pełni świadomi tylko geometrzy”. Idealna metoda, której wzorzec stanowi geometria, miałaby opierać się, zdaniem Pascala, na dwóch zasadach: 1. Nie można używać żadnego terminu, którego znaczenie nie zostało wcześniej wyjaśnione. 2. Wszystkie twierdzenia muszą zostać udowodnione. Autor Myśli zdaje sobie jednak sprawę z tego, że w praktyce nie da się zdefiniować wszystkich pojęć i dowieść wszystkich twierdzeń. Dopuścić więc musi przyjęcie bez definicji – jako pierwotnych – pewnych pojęć jasnych dzięki „światłu naturalnemu” (być może chodzi tu o intuicję) oraz uznanie pewnych jasnych i powszechnych zasad, które stanowić mają oparcie dla dowodzenia dalszych twierdzeń. Do pierwotnych pojęć zalicza Pascal pojęcie czasu, przestrzeni, ruchu, liczby czy równości. Wymienione przez niego zasady mogą się wydawać banalne i niezbyt użyteczne – bo ograniczone są tylko do matematyki. Mimo jednak, iż są proste, nie są wcale rozpowszechnione („jeżeli wyłączymy geometrów [...], nie znajdziemy nikogo innego kto by je również znał” – Rozważania...). Stanowią one wzorzec i model wszelkiej wiedzy racjonalnej. Autor myśli rozróżniał również wiedzę o istnieniu danej rzeczy z wiedzą o jej naturze. Znamy istnienie oraz naturę skończoności, znamy istnienie nieskończoności, ale nie znamy jej natury – „ponieważ ma ona rozciągłość jak my, ale nie ma granic, jak my je mamy” (Myśli – 451).
Immanuel Kant (1724-1804) pozostawał do pewnego momentu pod wpływem filozofii empirystycznej D. Hume`a oraz racjonalistycznej filozofii Gotfrieda Wilhelma Leibniz (1646-1716) – który dzielił wszystkie zdania na dwie rozłączne klasy: prawdy rozumu i prawdy faktyczne. Twierdzenia matematyki i aksjomaty zaliczał przy tym do prawd rozumu – zatem do prawd koniecznych, które nie są oparte na faktach i ich nie dotyczą, a które są prawdziwe we wszystkich „możliwych światach”. Kant zachował ten dychotomiczny podział. Przyjął podział zdań na zdania analityczne (prawdy rozumu) i syntetyczne (prawdy faktyczne). Rozszerzając ten podział wyróżnił zdania syntetyczne a priori – czyli uzyskane niezależnie od doświadczenia oraz zdania syntetyczne a posteriori – uzyskane na podstawie doświadczenia. Następnie zdania syntetyczne a priori podzielił Kant na intuicyjne (związane ze strukturą percepcji i sądami percepcyjnymi) i dyskursywne (związane z funkcją porządkującą pojęć). Przedstawiony tu podział zdań potrzebny jest do tego, aby zrozumieć novum w podejściu Kanta, polegające na tym, że wszystkie twierdzenia matematyki czystej zalicza on do intuicyjnych sądów a priori. „Przekonujemy się jednak, że wszelkie poznanie matematyczne posiada tę swoistą cechę, że pojęcie swoje musi wpierw przedstawić w naoczności, i to a priori, a więc w takiej naoczności, która nie jest empiryczna, ani czysta. Bez tego środka nie może matematyka uczynić ani jednego kroku. Stąd sądy jej są zawsze intuicyjne, gdy tymczasem filozofia musi się zadowolić sądami dyskursywnymi, płynącymi z samych tylko pojęć...” Według Kanta twierdzenia czystej matematyki – jako powszechne i konieczne - nie mogą być zdaniami empirycznymi. Muszą być syntetyczne, ponieważ dotyczą wyobrażeń jednostkowych, jakimi są przestrzeń i czas. Pojawia się jednak problem; a mianowicie jak w ogóle są możliwe zdania (sądy) syntetyczne a priori? Odpowiedzi na to pytanie udzielił Kant w Krytyce czystego rozumu oraz w Prolegomenach, a odpowiedź zrewolucjonizowała całe dotychczasowe myślenie filozoficzne („przewrót kopernikański w filozofii”). Otóż zdaniem Kanta czas i przestrzeń są stałymi formami naszej zmysłowości i naszego oglądu, tzn. są dodawane, czy tez umożliwiają odbieranie przez nas wrażeń zmysłowych (ponieważ my ludzie nie potrafimy myśleć nieprzestrzennie i nie- czasowo), a nie realnie istniejącymi przedmiotami istniejącymi poza poznającymi podmiotami, w konsekwencji czego nie docieramy w naszym poznaniu do rzeczy takimi jakimi są one same w sobie. Warunkami naszego poznania są więc z jednej strony – czas i przestrzeń jako czyste formy naoczności stanowiące warunek konieczny możliwości poznania empirycznego, a z drugiej – aprioryczne formy rozumu, czyli kategorie intelektu. Kant odróżnia również konstrukcję obiektu od postulowania jego istnienia. (np.: nie można skonstruować sfery pięciowymiarowej, ale można postulować jej istnienie). Rozróżnienie to (postulowanie istnienia przedmiotu matematycznego – wymagające tylko wewnętrznej niesprzeczności od jego konstrukcji – która wymaga by przestrzeń percepcyjna miała pewną określoną strukturę) jest istotne dla zrozumienia filozofii autora Krytyki czystego rozumu. Kant nie twierdzi niczego, co przeczyłoby możliwości zbudowania wewnętrznie niesprzecznych systemów geometrii innych niż geometria euklidesowa. „Nie mają więc racji ci, którzy głoszą, że powstanie geometrii nieeuklidesowych Gaussa, Bolyai i Łobaczewskiego obaliło Kanta filozofię matematyki”. Kant stara się również wyjaśnić relacje matematyki czystej do stosowanej. Twierdzenia matematyki czystej są zdaniami syntetycznymi a priori – są zatem konieczne i powszechne. Natomiast zdania matematyki stosowanej są albo sądami syntetycznymi a posteriori – kiedy dotyczą treści empirycznej doznań zmysłowych, albo sądami syntetycznymi a priori – kiedy mówią o czasie i przestrzeni. Czysta matematyka mówi o czasie i przestrzeni niezależnie od materiału empirycznego, a matematyka stosowana dotyczy czasu i przestrzeni wraz z wypełniającym ją materiałem. Jak to się dzieje jednak, że twierdzenia matematyki nadają się do rzeczywistości poznawalnej zmysłowo? Odpowiedź można znaleźć w Prolegomenach: „(...) wszystkie zewnętrzne przedmioty naszego świata zmysłowego muszą koniecznie z zupełną dokładnością zgadzać się z twierdzeniami geometrii; zmysłowość bowiem dzięki swej formie naoczności zewnętrznej (przestrzeni), którą zajmuje się geometria, sprawia dopiero, że owe przedmioty jako same tylko zjawiska stają się możliwe.(...) ponieważ przestrzeń, jak ją sobie myśli geometra, jest całkiem dokładnie formą zmysłowej naoczności, którą znajdujemy w nas samych a priori i która zawiera w sobie podstawę możliwości wszystkich zjawisk zewnętrznych (co do ich formy), przeto zjawiska muszą koniecznie i jak najściślej zgadzać się z twierdzeniami geometry, które on wyprowadza nie z jakiegoś zmysłowego pojęcia, lecz z podmiotowej podstawy wszelkich zjawisk zewnętrznych, mianowicie z samej zmysłowości.” Filozof z Królewca podjął również problem nieskończoności. W tej jakże istotnej dla matematyki kwestii, podobnie jak Arystoteles, rozróżnił nieskończoność potencjalną i aktualną. Nie twierdził jednak w przeciwieństwie do Stagiryty, że nieskończoność aktualna jest logicznie niemożliwa. Zdaniem Kanta jest ona tzw. ideą rozumu – czyli pojęciem wewnętrznie niesprzecznym choć niestosowalnym do doświadczenia zmysłowego (jej egzemplifikacje nie mogą być ani zaobserwowane, ani skonstruowane; możemy np. skonstruować liczbę 5 i ją zmysłowo poznać jako np. 5 rzeczy, ale nie jesteśmy w stanie ani percypować, ani skonstruować nieskończoności aktualnej).
Georg Cantor (1845-1918) znany jest jako twórca teorii mnogości (czy też teorii zbiorów) – dziedziny, która odegrała zasadniczą rolę w badaniu logicznych i filozoficznych podstaw matematyki. (Na uwagę zasługują również inne osiągnięcia Cantora, np. jego teoria liczb niewymiernych jako granic ciągów liczb wymiernych – nazwanych później przez Cantora ciągami podstawowymi). Zdaniem Cantora rzeczywistość idei matematycznych może być rozumiana dwojako: 1) jako rzeczywistość immanentna, 2) jako rzeczywistość pozasubiektywna. Obie rzeczywistości przysługują pojęciom matematycznym. Podobnie jak Platon stawiał tezę, że matematyk nie tworzy przedmiotów matematyki, a jedynie je odkrywa. Przypisywał realne istnienie również pojęciom teorii mnogości nie tylko w świecie idei, ale także w świecie fizycznym. Pojęcie zbioru wyprowadził Cantor nie w sposób aksjomatyczny lecz intuicyjnie (ponieważ jego intuicje nie były do końca precyzyjne i jednoznaczne, doprowadziło to wkrótce do paradoksów). Wyprowadził i rozwinął pojęcia liczby kardynalnej i porządkowej. Pojmował je również w sposób intuicyjny. Wszystko to doprowadziło wkrótce do pojawienia się na gruncie teorii mnogości pewnych antynomii (antynomia Burali-Fortiego i antynomia zbioru wszystkich zbiorów - były już znane samemu Cantorowi). Jednak najistotniejszą częścią teorii mnogości Cantora były rozważania dotyczące zbiorów nieskończonych. Wyróżniał on rozmaite formy nieskończoności. Za Arystotelesem przyjmował podział na nieskończoność potencjalną – która zdaniem Cantora właściwie nie jest nieskończonością, dlatego nazywa on ją nieskończonością niewłaściwą (mamy z nią do czynienia tam, gdzie pojawia się pewna nieokreślona wielkość skończona, która albo rośnie poza wszelkie skończone granice, albo staje się mniejsza niż każda granica skończona) oraz na nieskończoność aktualną – pod pojęciem której rozumiał wielkość, która jest niezmienna, określona i stała we wszystkich swych częściach będąca prawdziwą stałą jednocześnie przekraczającą każdą wielkość skończoną tego samego rodzaju. (Cantor posługiwał się charakterystycznym dla matematyki XIX wieku pojęciem wielkości. To nieprecyzyjne pojęcie zostało później zastąpione właśnie przez pojęcie zbioru). Każda nieskończoność potencjalna zakłada, wg Cantora, nieskończoność aktualną, która ma trzy formy: 1) nieskończoność absolutną – realizującą się w Bogu, 2) nieskończoność pojawiającą się w świecie zależnym i stworzonym oraz 3) nieskończoność, która może być pojmowana przez myśl (dzięki abstrakcji) jako wielkość matematyczna. Nieskończoność absolutna, w przeciwieństwie do dwu pozostałych, jest niepowiększalna. Dlatego w tym przypadku mówi raczej nie o nieskończoności, a o pozaskończoności. W licznych pracach rozwinął dość szczegółowo teorię pozaskończonych typów porządkowych, a za pomocą pojęcia równoliczności zbiorów wprowadził pojęcie mocy zbioru oraz całą hierarchię pozaskończonych liczb kardynalnych. Dla swej teorii zbiorów nieskończonych szukał uzasadnienia także poza matematyką – w metafizyce i teologii, gdyż był przekonany o niebagatelnym znaczeniu swej teorii mnogości dla tamtych dziedzin. Sądził, że ogólna teoria mnogości należy do metafizyki. Próbował też udowodnić istnienie pozaskończoności w odwołaniu do Absolutu. Jednak w związku z wprowadzoną przez Cantora hierarchią liczb kardynalnych, pojawiły się pewne problemy. Jednym z nich jest tzw. problem kontinuum – czyli pytanie, czy między mocą zbioru liczb naturalnych a mocą zbioru liczb rzeczywistych istnieją jeszcze liczby kardynalne? Sam Cantor nie potrafił rozwiązać tego problemu. Niemożność rozwiązania tego problemu oraz niechęć i niezrozumienie, z jakimi spotkała się jego teoria doprowadziły do załamania nerwowego i późniejszej choroby psychicznej, trapiącej go do końca życia. Jednocześnie stworzona przez Cantora teoria mnogości, po oparciu na solidnej bazie aksjomatów, stała się fundamentem matematyki pozwalającym na ugruntowanie jej podstaw. Cała matematyka bowiem może być zredukowana do teorii mnogości, zwanej także teorią zbiorów ( współczesna postać logicyzmu.)
Kilka słów o współczesnych nurtach w filozofii matematyki.
Należą do nich w szczególności: logicyzm, intuicjonizm i formalizm. Ukształtowały się one na przełomie XIX i XX wieku i nawiązywały najczęściej do koncepcji takich myślicieli jak Platon, Arystoteles, Leibniz czy Kant. Pojawienie się ich miało związek, z jednej strony, z intensywnym rozwojem logiki matematycznej i teorii mnogości, a z drugiej, z tzw. drugim kryzysem podstaw matematyki (pierwszym kryzysem było wykrycie w starożytnej Grecji wielkości niewspółmiernych, co doprowadziło w konsekwencji do zmiany pojęcia liczby), który związany był z wykryciem na gruncie teorii mnogości Cantora pewnych antynomii (par zdań wzajemnie sprzecznych, w których każde zdanie wynika z drugiego). Dziś nazywa się je antynomiami logicznymi, a ich genezą było intuicyjne, nie do końca precyzyjne i jasne pojęcie zbioru, które zaproponował Cantor w swej teorii mnogości. Próby pozbycia się sprzeczności wynikłych z antynomii teoriomnogościowych i zbudowania mocnych fundamentów dla całej matematyki, były bodźcem do różnych poszukiwań na płaszczyźnie filozoficznej, a ich efektem są właśnie:
Logicyzm – kierunek w filozofii matematyki, którego główna teza mówi, że cała matematyka jest sprowadzalna do logiki (czyli matematyka jest tylko częścią logiki). Za twórcę logicyzmu uważa się G. Frege (1848-1925), zaś głównym przedstawicielem był B. Russell. Logicyści nawiązywali m.in. do myśli Platona, Arystotelesa, Euklidesa, Leibniza. Jednak bez stworzenia w drugiej połowie XIX wieku nowoczesnej logiki matematycznej rozwój logicyzmu nie byłby chyba możliwy.
Intuicjonizm – jest jednym z konstruktywistycznych kierunków w filozofii matematyki. Ukształtował się na początku XX wieku, za sprawą holenderskiego matematyka L. E. J. Brouwer (1898-1980). Jego koncepcje rozwijali dalej A. Heyting (1898-1980) i Anne Sierp Troelestra (ur. 1939). Nurt ten wyrósł z krytyki podstaw współczesnej matematyki dotyczącej dwóch zasadniczych kwestii pojawiających się w całej historii tej dziedziny – pojęcia nieskończoności oraz związków między tym co dyskretne, a tym co ciągłe (kontinuum). Intuicjoniści przeciwstawiali się koncepcjom teorii mnogości Cantora i jego teorii nieskończoności. Źródeł tego kierunku należy szukać już także u Arystotelesa i Euklidesa. Za swych poprzedników intuicjoniści uważali tych myślicieli, którzy sądzili, że matematyka jest wyposażoną w określoną treść nauką, a umysł ludzki bezpośrednio ujmuje przedmioty matematyczne i formułuje o nich syntetyczne sądy a priori – dlatego chętnie powoływali się na Kanta.
Formalizm – twórcą tego nurtu był niemiecki matematyk D. Hilbert (1862-1943). Jego zdaniem dotychczasowe, zwłaszcza proponowane przez intuicjonistów, próby ugruntowania matematyki, są niezadowalające i prowadzą raczej do zubożenia matematyki i odrzucenia wielu jej kierunków dotyczących w szczególności nieskończoności. Hilbert sformułował program badań nazwany właśnie formalizmem, celem którego było ugruntowanie i usprawiedliwienie matematyki. Formaliści korzystali z wyników logicystów (m.in. Russella i Whiteheada), nawiązywali także – podobnie jak Brouer - do myśli Kanta. O ile jednak intuicjoniści odwoływali się do estetyki transcendentalnej (Kantowskiej teorii czasu i przestrzeni jako form zmysłowej naoczności), o tyle Hilbert wykorzystywał również koncepcję idei rozumu – wyłożonej przez Kanta w dialektyce transcendentalnej.

Po zarysowaniu powyższych kwestii może narodzi się kolejne pytanie: Czy filozoficzna refleksja nad matematyką ma dla nas jakieś istotne znaczenie? Duża ilość problemów stawianych przez filozofię matematyki pozostaje bowiem nierozstrzygnięta. Samo jednak zadanie podjęte przez filozofię matematyki tzn. ugruntowanie matematyki na solidnym i pierwotnym wobec niej fundamencie, wydaje się być przedsięwzięciem niebagatelnym. Rysuje jednocześnie wiele perspektyw, z których można spojrzeć na matematykę i ją opisywać, pokazując złożoność oraz bogactwo tej nauki. Warto także zapytać się, czy uprawianie matematyki bez ogólnej znajomości filozofii nie jest pewnego rodzaju zubożeniem tej pierwszej? Odpowiem podpierając się pierwszym mottem z cytowanej wielokrotnie książki Murawskiego (Filozofia matematyki. Zarys dziejów), a którego autorem jest G. Frege. Wymowa motta jest dość radykalna, ale zmusza do myślenia: „Filozof, który zupełnie nie zna geometrii, jest tylko półfilozofem, a matematyk, któremu brak żyłki filozoficznej, jest tylko półmatematykiem.”




BIBLIOGRAFIA:
.
• Roman Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995.
.
• Historia matematyki (w trzech tomach), pod red. A. P. Juszkiewicza, t. I, PWN Warszawa 1975, z rosyjskiego tłum. St. Bobrzycki.
• Dirk J. Struik, Krótki zarys historii matematyki, PWN Warszawa 1960, tłum. P. Szeptycki.
• Giovanni Reale, Historia filozofii starożytnej, RW KUL Lublin 2000, przekład E. I. Zieliński.

mgr Jolanta Jabłecka

Umieść poniższy link na swojej stronie aby wzmocnić promocję tej jednostki oraz jej pozycjonowanie w wyszukiwarkach internetowych:

X


Zarejestruj się lub zaloguj,
aby mieć pełny dostęp
do serwisu edukacyjnego.




www.szkolnictwo.pl

e-mail: zmiany@szkolnictwo.pl
- największy w Polsce katalog szkół
- ponad 1 mln użytkowników miesięcznie




Nauczycielu! Bezpłatne, interaktywne lekcje i testy oraz prezentacje w PowerPoint`cie --> www.szkolnictwo.pl (w zakładce "Nauka").

Zaloguj się aby mieć dostęp do platformy edukacyjnej




Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie