Postanowiłam jedne z zajęć kółka matematycznego poświęcić pojęciu skali i zadaniom dotyczącym skali, proporcji, powiększaniu i pomniejszaniu figur. Szukałam ćwiczeń nietypowych. Takich, których dzieci nie spotkały wcześniej podczas lekcji matematyki czy przyrody i które zaciekawiłyby uczniów zdolniejszych i lubiących „potyczki z matematyką”.
Plan pracy:
- Zastanowienie się, ile ważyłaby cegiełka o wszystkich wymiarach czterokrotnie mniejszych, jeżeli wiemy, że zwykła cegła zrobiona z tego samego materiału waży cztery kilogramy.
- Policzenie, jak wysoki będzie dokładny model wieży Eiffla wykonany z jednego kilograma żelaza, jeżeli oryginalna wieża Eiffla w Paryżu ma wysokość 300 metrów, a do jej budowy użyto 8 000 000 kilogramów żelaza.
- Obliczenie stosunku objętości i wagi olbrzyma do objętości i wagi karła.
- Czytanie fragmentów „Podróży Guliwera”, w których wykorzystuje się skalę i sprawdzenie, czy obliczenia dokonane przez autora są poprawne.
Przebieg zajęć: Po przedstawieniu pierwszego problemu dzieci odpowiedziały bez zastanowienia, że mała cegiełka będzie ważyć jeden kilogram. Zwróciłam im uwagę, że cegiełka będzie czterokrotnie krótsza, czterokrotnie węższa i czterokrotnie niższa. Po tej uwadze uczniowie zmienili zdanie i obliczyli, że ciężar małej cegiełki będzie 4×4×4=64 razy mniejszy.
Mała cegiełka waży 4kg : 64 = 0,0625 kg = 62,5 g.
Aby przejść do następnego problemu, zapytałam dzieci, co wiedzą o wieży Eiffla i pokazałam im miniaturki tej konstrukcji.
Zadaniem uczniów było obliczenie wysokości modelu wieży Eiffla zbudowanego z 1 kg żelaza.
Wspólnie zauważyliśmy, że stosunek wagi (objętości) figur podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.
Pierwszą czynnością było obliczenie stosunku objętości dużej wieży do małej. Wynosi on:
8000000 kg : 1 kg = 8 000 000
Spostrzegliśmy, że 2003 = 8 000 000. Zatem skala podobieństwa tych brył wynosi 200, a więc wysokość naszego modelu musi być 200 razy mniejsza od oryginału. Bez trudu dzieci obliczyły szukaną wysokość – 1,5 metra.
Zadanie kolejne dotyczące olbrzymów i karłów było w pewien sposób podobne do zadań wcześniejszych i obliczenie stosunku objętości i wagi olbrzyma do objętości i wagi karła nie zajęło zbyt dużo czasu. Uczniowie wiedzieli, że aby obliczyć stosunek tych dwóch objętości należy znaleźć skalę podobieństwa, a następnie podnieść ją do trzeciej potęgi. Tak samo postąpili w przypadku wagi.
W celu obliczenia skali podobieństwa, dzieci porównały wzrost jednego z najwyższych olbrzymów – Austriaka Winkelmeiera mierzącego 278 cm (dane znalezione w Księdze Guinessa), ze wzrostem karła mierzącego 75 cm. Stosunek tych dwóch wielkości jest skalą podobieństwa. Jeżeli podniesiemy ją do trzeciej potęgi dowiemy się, ile razy cięższy jest olbrzym od karła. Jest cięższy około (278 : 75)3 = 50,9 razy.
Przechodząc do następnego punktu planu pracy dotyczącego „Podróży Guliwera” Jonathana Swifta, przedstawiłam skalę, jaką wprowadził autor pisząc książkę. Dzięki niej w kraju liliputów naszemu calowi odpowiadała stopa, a w kraju olbrzymów odwrotnie: stopie-cal. Innymi słowy w kraju liliputów wszyscy ludzie, wszystkie rzeczy, wszystkie twory przyrody były dwanaście razy mniejsze od normalnych, a u olbrzymów dwanaście razy większe.
Następnie zaproponowałam sprawdzenie, czy Swift poprawnie obliczył:
- ile razy więcej zjadał na obiad Guliwer niż liliput;
- ile razy więcej materiału potrzeba było na ubranie Guliwera niż na ubranie liliputa;
- ile ważyło jabłko w kraju olbrzymów.
Doszliśmy do wniosku, że skoro liliput jest niższy od Guliwera dwanaście razy, to objętość jego ciała jest mniejsza 12×12×12 = 1728 razy; wskutek tego do zapełnienia żołądka Guliwera potrzeba 1728 razy więcej pokarmu niż dla liliputa. Obliczenia te są zgodne z obliczeniami dokonanymi przez autora książki. Przeczytaliśmy fragment książki związany z ucztą Guliwera:
„Trzystu kucharzy przygotowywało dla mnie jedzenie. Dokoła mego domu były postawione szałasy, gdzie się odbywało gotowanie i mieszkali kucharze z rodzinami. Kiedy nadchodziła godzina obiadu, brałem w ręce dwadzieścia osób służby i stawiałem je na stole, a ze stu ludzi posługiwało na podłodze: jedni podawali jedzenie, inni przynosili na drążkach przerzuconych przez ramiona beczułki z winem i innymi napojami. Ci, co stali na stole, w miarę potrzeby podnosili to wszystko na stół za pomocą sznurów i bloków…”. Aby odpowiedzieć na pytanie, ile razy więcej sukna potrzeba na ubranie Guliwera niż na ubranie liliputa, dzieci przeprowadziły takie rozumowanie: ponieważ w kraju liliputów wszystko było dwanaście razy mniejsze, powierzchnia ciała Guliwera jest większa od powierzchni ciała liliputa 12 ×12 = 144 razy, czyli tyle razy więcej potrzeba dla niego materiału. Okazuje się, że wszystko to zostało uwzględnione przez Swifta, który w imieniu Guliwera opowiada, że do niego
odkomenderowano trzystu krawców – liliputów z nakazem uszycia całkowitego ubrania podług wzorów miejscowych”. Okazało się jednak, że autor opisując kraj olbrzymów błędnie dokonał niektórych obliczeń. Przykładem może być cytat
„Pewnego razu – opowiada Guliwer – razem z nami poszedł do ogrodu nadworny karzeł. Wybrawszy odpowiedni moment, kiedy spacerując znalazłem się pod drzewem, karzeł schwycił gałązkę i potrząsnął nią nad moją głową. Grad jabłek wielkości dobrej beczki posypał się z hałasem na ziemię: jedno uderzyło mnie w plecy i zwaliło z nóg …”. Guliwer szczęśliwie podniósł się na nogi po tym uderzeniu.
Uczniowie obliczyli ciężar jabłka z kraju olbrzymów, które powinno być 1728 razy cięższe od naszego. Przyjmują, że przeciętne „nasze” jabłko waży 0,2 kilograma, jabłko w kraju olbrzymów ważyłoby 1728 razy więcej, czyli około 345 kilogramów. Gdy wzięliśmy pod uwagę fakt, że spadałoby ono z dwunastokrotnej wysokości, dzieci jednogłośnie przyznały, że uderzenie takiego jabłka byłoby miażdżące.
Kolejnym błędem jaki wykryliśmy w „Podróżach Guliwera” był błąd przy obliczaniu siły mięśni olbrzymów. Wiedzieliśmy już, że ciężar ciała olbrzymów był 1728 razy większy od ciężaru Guliwera. Jeżeli przyjmiemy, że bohater książki ważył 80 kilogramów, obliczymy, że ciężar ciała olbrzyma wynosił 138 248 kilogramów. Stosując rozumowanie autora, według którego siła mięśni olbrzymów była 144 razy większa od siły zwykłego człowieka, okaże się, że nie byli oni w stanie udźwignąć nawet ciężaru własnego ciała. Musieliby leżeć nieruchomo na jednym miejscu nie mając siły do zrobienia jakiegokolwiek ruchu.
Na tym zakończyłam zajęcia.
Monika Kobyłkiewicz
