Równania Eulera-Lagrange'a wprowadzone przez
Leonharda Eulera
i
Josepha Louisa Lagrange'a
w
1750
roku są podstawową formułą
rachunku wariacyjnego
.
W
mechanice klasycznej
opisują one ruch qk(t) układu ciał i przyjmują postać
gdzie jest funkcją Lagrange'a (
lagranżjanem
) opisującą rozważany układ.
Otrzymujemy je z
zasady najmniejszego działania
i dla znanej funkcji Lagrange'a są one układem n
równań różniczkowych zwyczajnych
na funkcje qk(t).
Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange'a mają swoje nazwy:
- siła uogólniona
- pęd uogólniony
Przykładowe rozwiązanie
Weźmy lagranżjan postaci:
Poszczególne wyrazy w równaniu Eulera-Lagrange'a wynoszą:
Ostatecznie otrzymujemy:
czyli równanie ruchu Newtona:
gdyż dla sił potencjalnych
Wyprowadzenie równań Eulera-Lagrange'a
Lemat: Jeżeli b(t) jest funkcją ciągłą na [t1,t2] i całka znika dla dowolnej funkcji ciągłej h(t) posiadającej ciągłą pochodną i spełniającej warunek h(t1) = h(t2) = 0 to dla .
Będziemy szukać ekstremum funkcjonału działania.
Warunkiem koniecznym, aby funkcjonał przyjmował wartość minimalną jest zerowanie pierwszej
wariacji
tego funkcjonału.
Do funkcji dodajemy dowolne , spełniające warunek:
Wyrażenie podcałkowe jest wariacją L δL.
W powyższym wzorze wyraz zależny od możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół odrzucając wyrazy powyżej pierwszego rzędu otrzymujemy:
Wstawiając powyższe równanie do wyrażenia podcałkowego otrzymujemy:
Scałkujmy przez części wyrażenia postaci
Z założenia o funkcji h(t) wynika, że pierwsze wyrażenie po prawej stronie wynosi 0. Otrzymujemy poniższy wzór na wariację działania:
Wyrażenie podcałkowe jest iloczynem skalarnym wektora i wektora złożonego z pochodnych funkcji L ( oznacza , tzw.
operator nabla
).
Na podstawie lematu wnioskujemy, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym się zeruje co daje układ równań Eulera-Lagrange'a.
Wystąpił problem z bazą danych.
Spróbuj ponownie poprzez naciśnięcie przycisku "Odśwież".
Przepraszamy za powstały problem.