Funkcja ciągła

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej może być postrzegana jako ciągła, jeżeli jej wykres można „narysować bez odrywania ołówka od papieru” (bez ograniczeń w czasie lub przestrzeni). Jest to warunek wystarczający, ale nie konieczny. Funkcja $f (x) = t a n (x)$ jest ciągła mimo, że nie da jej się narysować zgodnie z podaną intuicją.

Spis treści

1 Funkcje rzeczywiste
2 Przestrzenie metryczne i unormowane
3 Przestrzenie topologiczne
4 Własności
- 4.1 Funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty
- 4.2 Topologia
5 Przestrzeń funkcji ciągłych
6 Pojęcie teorio-mnogościowe
7 Zobacz też

Funkcje rzeczywiste

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości: jedna z nich podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego , nazywana popularnie epsilonowo-deltową z racji przyjętych zwyczajowych oznaczeń; druga zaproponowana przez Heinricha Eduarda Heinego , nazywana też definicją ciągową. Niech $M \subseteq \mathbb R$ oraz $f\colon M \to \mathbb R$ .

Definicja Cauchy'ego

Jeżeli $f$ spełnia dla ustalonego $x \in M$ warunek

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to jest ona ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie $x$ . Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego $x \in M$ , czyli

$\forall_{x \in M}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to mówimy, że jest ciągła (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze $M$ .

Definicja Heinego

Funkcja $f$ jest ciągła w sensie Heinego w punkcie $x \in M$ , jeśli dla każdego ciągu $(x n)$ liczb z $M$ , który jest zbieżny do $x$ ciąg wartości $\big(f(x_n)\big)$ jest zbieżny do $f (x)$ , czyli

$\forall_{x \in M}\ \ \ x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x)$ .

Uwagi

Warto zauważyć, że z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie są związane odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie. Używając pojęcia granicy funkcji możemy powiedzieć, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x \in X$ , gdy albo $x$ nie jest punktem skupienia zbioru $M$ , albo $\lim\limits_{a \to x}~f(a) = f(x).$

Należy także zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dla danego zbioru. Przesunięcie pierwszego kwantyfikatora na trzecią pozycję, mianowicie

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in M}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej .

Obie definicje (Cauchy'ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru , i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego należy dodać warunek dla $y$ , mianowicie $y < x$ , aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do $x$ wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Przykłady

Rozpatrujemy funkcje $\cdot\colon \mathbb R \to \mathbb R$ .

Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe (co jest również prawdą dla funkcji $\cdot\colon \mathbb C \to \mathbb C$ ).
Funkcja dana wzorem

$f(x) = \begin{cases} \tfrac{\sin x}{x} & \mbox{dla } x \ne 0 \\\; 1 & \mbox{dla } x = 0 \end{cases}$

jest ciągła.

Funkcja Dirichleta D jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
- Funkcja $D_1(x) = x \cdot D(x)$ jest ciągła wyłącznie w punkcie $x = 0$ .
- Funkcja $D_{\mathbb Z} = \sin(x \pi) \cdot D(x)$ jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
Funkcja Riemanna $R$ jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Przestrzenie metryczne i unormowane

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy'ego zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych $(X, d X)$ oraz $(Y, d Y)$ funkcja $f\colon X \to Y$ jest ciągła, jeśli prawdziwy jest wzór

$\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in X}\; d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$ .

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

$f(B_X(x, \delta)) \subseteq B_Y(f(x), \varepsilon)$

albo

$B_X(x, \delta) \subseteq f^{-1}\big(B_Y(f(x), \varepsilon)\big)$ ,

gdzie $B_X,\ B_Y$ są kulami odpowiednio w $X,\ Y$ , a w nawiasach po oznaczeniu kuli piszy się jej środek i promień.

Przestrzenie topologiczne

Ciągłość funkcji w punkcie: dla otoczenia

V

punktu

f (x)

możemy znaleźć otoczenie

U

punktu

x

takie, że

f (U)

jest zawarte w

V

(czyli

U

jest zawarte w przeciwobrazie

V

)

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii.

Niech $(X,τ X)$ oraz $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi , a $f\colon X \to Y$ przekształceniem między nimi. Powiemy, że $f$ jest ciągłe, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w $Y$ jest zbiorem otwartym w $X$ , co zapisuje się następująco:

$\forall_{U \in \tau_Y}\; f^{-1}(U) \in \tau_X$ .

Równoważnie można wymagać, aby przeciwobraz zbioru domkniętego był domknięty. Jeśli przestrzenie $X,\ Y$ są metryzowalne , to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy'ego podaną wyżej.

Własności

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty

Jeśli funkcja $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ jest ciągła, to $f$ na swojej dziedzinie

jest jednostajnie ciągła ,
przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa ),
ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux ).

Topologia

Niech $(X,τ X)$ i $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz $f, g\colon X \to Y$ .

Aby sprawdzić ciągłość funkcji $f$ , nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni, lecz wystarczy to zrobić dla pewnej jej bazy $\mathcal B$ :

$\forall_{U \in \mathcal B}\; f^{-1}(U)\in \tau_X$ .

Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych . Mianowicie, funkcja $f$ jest ciągła, jeżeli zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:

przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w $Y$ jest domknięty w $X$ ;
dla każdego zbioru $A \subseteq X$ mamy $f(\operatorname{cl}\;A) \subseteq \operatorname{cl}\;f(A)$ , gdzie $\operatorname{cl}$ jest operatorem domknięcia ;
dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ zachodzi $\operatorname{cl}\;f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}\;B)$ .

Przy przekształceniach ciągłych zachowywane są takie własności przestrzeni jak:

Jeśli zbiór $D$ jest gęsty w $X$ , $f$ i $g$ są ciągłe, oraz $f\bigg|_D = g\bigg|_D$ , to $f = g$ .

Niech $I \subseteq \mathbb N$ oraz $X = \prod_{i \in I}~X_i$ będzie produktem Tichonowa , wówczas dla $j \in I$ przekształcenie

$\pi_j\colon\ X\ni x = \langle x_i\colon i \in I \rangle \mapsto x_j\in X_j$

jest ciągłym rzutem na $j$ -tą współrzędną.

Przestrzeń funkcji ciągłych

W topologii i analizie funkcjonalnej często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z pewnej przestrzeni topologicznej $X$ w inną $Y$ . Taka przestrzeń jest oznaczana symbolem $\mathcal C(X, Y)$ i jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej .

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych . Pierścień $\mathcal C(X, \mathbb R)$ o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z $X$ w $\mathbb R$ i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni $(X,τ X)$ .

Na przestrzeni $\mathcal C(X, \mathbb R)$ rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej,: zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie $\prod_{x \in X}~\mathbb R;$
zbieżności jednostajnej,: w której bazą otoczeń punktu $f \in \mathcal C(X)$ jest $\{U_n(f)\colon\ n = 1, 2, 3, \dots\}$ , gdzie $U_n(f) = \left\{g \in \mathcal C(X)\colon\ \forall_{x \in X}\; |f(x) - g(x)| < \tfrac{1}{n}\right\}$ .

Pojęcie teorio-mnogościowe

Niech $(A, \le_A)$ oraz $(B, \le_B)$ będą porządkami zupełnymi , wtedy funkcja $f: A \to B$ jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych , tzn:

Niech $X \subseteq A$ będzie podzbiorem skierowanym , wtedy $f(\sup X) = \sup f(X).$

Zobacz też

Inne hasła zawierające informacje o "Funkcja ciągła":

Biskup ...

Diakon ...

Mioglobina ...

Dzielnica miasta ...

Mer (urzędnik) ...

Ciałko nerkowe ...

Stanisław Małachowski ...

Układ protonefrydialny ...

Integracja ...

Majuskuła ...

Inne lekcje zawierające informacje o "Funkcja ciągła":

Świat roślinny i zwierzęcy w Polsce (plansza 15) ...

Komunikacja językowa (plansza 12) ...

02. System gospodarki rynkowej (plansza 14) ...

Publikacje nauczycieli

Logowanie i rejestracja

Załóż nowe konto za darmo » Odzyskaj stracone hasło

Czy wiesz, że...

Koń może pociągnąć przedmiot o 4-krotnej wartości swojej wagi. Pchła potrafi uciągnąć ciężar 400-krotnie przekraczający ciężar własnego ciała.

koń pchła ciało ciężar

Rodzaje szkół

AP Edukacja - licea
i szkoły policealne

Publikacje nauczycieli

Kontakt

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Ogólnopolski Katalog Szkolnictwa
www.szkolnictwo.pl
ul. Kaszubska 10/16
75-036 Koszalin

Wszelkie pytania, uwagi i zmiany w katalogu prosimy kierować do:

	zmiany@szkolnictwo.pl

Wszelkie pytania, uwagi dotyczące Platformy Edukacyjnej prosimy kierować do:

	platforma@szkolnictwo.pl

Konta bankowe dla klientów katalogu szkolnictwo.pl:

Pełny ekran >>>

Wiadomości

Reklama

zamów reklamę >>>

Dodaj szkołę

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Nauka

	Język angielski
Słówka - testy Słówka - lekcje Testy po angielsku Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Testy na prawo jazdy
Kategoria B - lekcje Kategoria B - testy do lekcji Testy do egzaminu

	Język niemiecki
Słówka - testy Słówka - lekcje Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Matematyka
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Konkurs "Kangur Matematyczny"

	Geografia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Państwa świata

	Chemia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język hiszpański
Słówka

	Prawo
Egzamin konkursowy dla kandydatów na aplikantów

	Język polski
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Liceum - testy do lektur Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Ortografia - testy

	Historia
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji

	Biologia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Fizyka i astronomia
Zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Informatyka
Informatyka - zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Wiedza o społeczeństwie
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Podstawy przedsiębiorczości
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język angielski
	Filozofia
	Testy na prawo jazdy
	Język niemiecki
	Matematyka
	Geografia
	Chemia
	Język hiszpański
	Prawo
	Język polski
	Historia
	Biologia
	Fizyka i astronomia
	Informatyka
	Wiedza o społeczeństwie
	Podstawy przedsiębiorczości
	Egzaminy Zawodowe
	Materiały szkół