Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego

Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Formalnie:

   F_n :=  \begin{cases}    0             & \mbox{dla } n = 0; \\    1             & \mbox{dla } n = 1; \\    F_{n-1}+F_{n-2} & \mbox{dla } n > 1. \\   \end{cases}

Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od F_1=1, F_2=1\;[1].

Wyrazy F_0\dots F_{19} ciągu Fibonacciego to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików . Nazywanie tego ciągu jako ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX w. Edward Lucas [2].

Spis treści

Wzór Bineta

Jawny wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego możemy otrzymać np. korzystając z metody funkcji tworzących .

Zdefiniujmy ciąg  f_n := F_{n+1}\, i dla tego ciągu fn obliczmy wzór na jego n-ty wyraz.

Funkcja tworząca dla tego ciągu ma postać

s(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n x^n

Podstawiając f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\, otrzymujemy:

s(x)= 1 + x + \sum_{n=2}^{\infty} \left( f_{n-2} + f_{n-1} \right) x^n

= 1 + x + x^2 \sum_{n=2}^\infty f_{n-2} x^{n-2} + x \sum_{n=2}^\infty f_{n-1} x^{n-1}
= 1 + x + x^2 s(x) + x (s(x)-1) = 1 + x s(x) + x^2 s(x)\,

tak więc: s(x) = \frac{1}{1 - x - x^2} Wyrażenie  \frac{1}{1 - x - x^2} możemy przedstawić w prostszej postaci, a mianowicie:  \frac{1}{1 - x - x^2} = A/(1-ax) + B/(1-bx)

gdzie a={1 + \sqrt{5} \over 2} b={1 - \sqrt{5} \over 2} A={a \over a-b} B={-b \over a-b}

wówczas s(x)=A \sum_{n=0}^\infty a^n x^n + B \sum_{n=0}^\infty b^n x^n = \sum_{n=0}^\infty {(a^{n+1} - b^{n+1}) \over (a-b)}x^n tak więc  f_n = {(a^{n+1} - b^{n+1}) \over (a-b)}

Podstawiając F_n=f_{n-1}\, otrzymujemy ostatecznie tzw. wzór Bineta :

F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^n

Ponieważ drugi człon tego wyrażenia szybko zbiega do zera

F_n \approx \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n

Własności

Można też wyrazić wartości kolejnych elementów ciągu za pomocą symbolu Newtona  :

F_n = \sum_{k=1}^n{n-k \choose k-1}

Zachodzą równości:

\sum_{k=1}^n F_k = F_{n+2}-1
\sum_{i=0}^n iF_i = nF_{n+2} - F_{n+3} + 2
\sum_{k=1}^n F_k^2 = F_{n+1}F_n (równanie ilustruje rysunek)
\sum_{k=1}^n F_k^3 = (F_{3n+2}+ (-1)^{n+1}6 F_{n-1}+5 )/10
F_{2n} = F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2
F_{2n-1} = {F_n}^2 + {F_{n-1}}^2
F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n
F_{n+1}F_{m} + F_n F_{m-1} = F_{m+n}\,

Kilka mniej znanych twierdzeń na temat ciągu Fibonacciego:

  • Z wyjątkiem jednocyfrowych liczb Fibonacciego (liczb występujących w ciągu Fibonacciego), zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym.
  • Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 1 i 144.
  • Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer n dzieli się przez k, to liczba Fn dzieli się przez Fk. Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb: \gcd(F_m,\,F_n) = F_{\gcd(m,\,n)}.\
  • Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego.
  • Istnieje nieskończenie wiele liczb n dla których zachodzi podzielność n | Fn. W szczególności można pokazać, że jeśli m\in\mathbb{N} to 5^m | F_{5^m} .

Obliczanie liczb Fibonacciego

Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja Fn wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru n musi mieć co najmniej Fn liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność.

Istnieje równie prosta i znacznie szybsza metoda. Obliczamy wartości ciągu po kolei: F0, F1, F2 i tak aż do Fn, za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie musimy nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości – ponieważ wystarczą dwie ostatnie. Daje to złożoność liniową – o wiele lepszą od wykładniczej złożoności poprzedniej metody. Metoda ta może być postrzegana jako zastosowanie programowania dynamicznego .

 Fibonacci( n )   if n=0 then return 0   if n=1 then return 1   f' ← 0   f  ← 1   for i ← 2 to n     do       m  ← f + f'       f' ← f       f  ← m     end   return f

Można zrobić to jeszcze szybciej dzięki zależności:

  \begin{bmatrix}    F_{n+2} & F_{n+1} \\    F_{n+1} & F_n \\  \end{bmatrix}\cdot  \begin{bmatrix}    1 & 1 \\    1 & 0 \\  \end{bmatrix}=   \begin{bmatrix}    F_{n+3} & F_{n+2} \\    F_{n+2} & F_{n+1} \\  \end{bmatrix}

Ponieważ równocześnie:

  \begin{bmatrix}    1 & 1 \\    1 & 0 \\  \end{bmatrix}=   \begin{bmatrix}    F_2 & F_1 \\    F_1 & F_0 \\  \end{bmatrix}

to indukcyjnie :

  \begin{bmatrix}    1 & 1 \\    1 & 0 \\  \end{bmatrix}^n =  \begin{bmatrix}    F_{n+1} & F_n \\    F_n & F_{n-1} \\  \end{bmatrix},  \quad n\ge 1

A ponieważ istnieją bardzo wydajne algorytmy potęgowania macierzy , możemy wyliczyć dowolny wyraz ciągu Fibonacciego za pomocą logarytmicznej ilości mnożeń. Stanowi to ogromny kontrast wobec wykładniczej ilości (co prawda szybszych) dodawań najbardziej naiwnej metody.

Graficzna reprezentacja dwójkowa

Ciąg Fibonacciego w systemie dwójkowym

Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym , jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala . Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

Złota liczba

granica ciągu

\frac{F(n+1)}{F(n)}

czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania :

\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1} lub równoważnego x=1+\frac{1}{x}
Dowód (zakładający istnienie takiej granicy):
x={\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}}
= \lim_{n\to\infty}\frac{F(n)+F(n-1)}{F(n)}
 =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{F(n)}{F(n)}+\frac{F(n-1)}{F(n)}\right)
= 1+\lim_{n\to\infty}\frac{F(n-1)}{F(n)}
 =1+\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{F(n)}{F(n-1)}}
= 1+\frac1x

Jest ona także pierwiastkiem wielomianu x² − x − 1 oraz równania x + x−2 = 2

Zauważmy, że w powyższym dowodzie informacja o początkowych wyrazach ciągu czy też jakichkolwiek innych nie była wykorzystywana. Przeto dla dowolnego ciągu

   G_n := G(n):=  \begin{cases}    a             & \mbox{dla } n = 0; \\    b             & \mbox{dla } n = 1; \\    G(n-1)+G(n-2) & \mbox{dla } n > 1. \\   \end{cases}

zachodzi wzór : G_n = a\cdot F_{n-1} + b\cdot F_n\, Czasem taki ciąg G również nazywany jest ciągiem Fibonacciego lub uogólnionym ciągiem Fibonacciego. Jeżeli a i b nie są równocześnie zerami to granica ciągu \left( \frac{G(n+1)}{G(n)} \right)_{n\in \Bbb N} jest taka sama jak dla 'oryginalnego' ciągu Fibonacciego.

Kolejne wyrazy ciągu :\frac{F(n+1)}{F(n)} są także wartością n-tego odcinka ułamka łańcuchowego :\varphi = [1; 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}

wartościami kolejnych 'odcinków' są liczby:

\frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{2}{1} = 1+\frac{1}{1} \qquad \frac{3}{2} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1}} \qquad \frac{5}{3} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}} \qquad \frac{8}{5} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}}}

Liczby pierwsze w ciągu Fibonacciego

Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to także liczby pierwsze [3] a mianowicie: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229.. Wydaje się prawdopodobne, że liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego istnieje nieskończenie wiele, lecz problem ten jak dotąd nie doczekał się rozstrzygnięcia.

Pokrewne ciągi

Ciąg Lucasa

Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego, definiujemy go

   L_n := L(n):=  \begin{cases}    2             & \mbox{dla } n = 0; \\    1             & \mbox{dla } n = 1; \\    L(n-1)+L(n-2) & \mbox{dla } n > 1. \\   \end{cases}

Zachodzą równości:

 L_n=F_{n-1}+F_{n+1}\,
F_n = \begin{matrix}\frac{1}{5}\end{matrix}(L_{n-1}+L_{n+1}).
F_{n+1} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(F_n+L_n).
F_{2n} = F_n L_n\,.
F_{m+n} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(F_m L_n + F_n L_m).
F_{m-n} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(-1)^n(F_m L_n - F_n L_m).

Ciąg "Tribonacciego"

Różni się od ciągu Fibonacciego tym, że każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich trzech wyrazów zamiast dwóch[4]. Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890.. Stała "Tribonacciego" jest granicą ciągu :\frac{T(n+1)}{T(n)} (gdzie T(n) jest n-tym wyrazem ciągu 'Tribonacciego') czyli analogiem złotej liczby dla ciągu Fibonacciego. Jest ona pierwiastkiem wielomianu x³ − x² − x − 1 oraz równania x + x−3 = 2 i wynosi ok. 1.83929.

Ciąg "Tetranacciego"

Różni się od ciągu Fibonacciego tym, każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich czterech wyrazów zamiast dwóch[5]. Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569.. Stała "Tetranacciego" jest granicą ciągu :\frac{T(n+1)}{T(n)} (gdzie T(n) jest n-tym wyrazem ciągu 'Tetranacciego'). Jest ona pierwiastkiem wielomianu x4x³ − x² − x − 1 oraz równania x + x−4 = 2 i wynosi ok. 1.92756.

Słowa Fibonacciego

Ciąg słów Fibonacciego to ciąg słów

F_n =  \begin{cases}    b             & \mbox{dla } n = 1; \\    a             & \mbox{dla } n = 2; \\    F_{n-1} \cdot  F_{n-2} & \mbox{dla } n > 2,\mbox{ gdzie } \cdot \mbox{ oznacza sklejenie ciagow} \\   \end{cases}

Ciąg Fibonacciego w muzyce

Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Ciąg Fibonacciego przypisuje się proporcjom części w skrzypcach budowanym przez Antonio Stradivariego []. Przede wszystkim jednak zależności takie występują w utworach muzycznych - najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai[6] wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka , przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę, gdzie w cz. I kolejne odcinki formy zaczynają się w następującym porządku:

  • zakończenie ekspozycji - t. 21
  • początek stretty - t. 34
  • kulminacja części - t. 55
  • koniec części - t. 89.

W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną , np.: Karlheinz Stockhausen Klavierstück IX, Luigi Nono Il canto sospeso, Christobal Halffter Fibonacciana[7]. Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera . Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta , a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.:

  • kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89, 55, 34, 21, 13 ćwierćnut
  • wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut[8].

Ciąg Fibonacciego w kulturze popularnej

Przypisy

  1. Zero jest zaliczane do ciągu Fibonacciego np. w książce Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: PWN, 1974, s. 16, seria: BM 16.  Nie jest natomiast zaliczane do ciągu Fibonacciego w Wielkiej Encyklopedii Powszechnej PWN, 1964, tom 3, s. 636, link
  2. Liczby Fibonacciego
  3. A005478
  4. A000073
  5. A000078
  6. Lendvai, Ernő (1971). Béla Bartók: An Analysis of His Music. London: Kahn and Averill
  7. B. Schaeffer Mały informator muzyki XX wieku, Kraków 1975, s. 121.
  8. T. Weselmann Musica incrostata, Poznań 2003, s. 58-60.
  9. FAQ for The Da Vinci Code ( ang. ). [dostęp 2010-03-16].

Zobacz też

Linki zewnętrzne


Inne hasła zawierające informacje o "Ciąg Fibonacciego":

Biskup ...

Wodospad Łomniczki ...

Łomniczka (potok) ...

Tałty (jezioro) ...

Genealogia ...

Arystoteles ...

Kod pocztowy ...

Karma ...

Yijing ...

1938 ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Ciąg Fibonacciego":

Algorytm rekurencyjny (plansza 19) e height=380 width=770 > Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego możemy najprościej zapisać używając definicję rekurencyjną: fib(1) = 1 fib(2) ...

Algorytm rekurencyjny (plansza 17) e height=380 width=770 > Ciąg Fibonacciego Fibonacci nawet nie zdawał sobie sprawy, że wzmianka o ciągu ...

Algorytm rekurencyjny (plansza 13) e height=380 width=770 > Ciąg Fibonacciego Leonardo Fibonacci ur. ok. 1175 r. - 1250 r. Kolejnym przykładem algorytmu rekurencyjnego ...




Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie