W
topologii
zbiór
nazywamy zbiorem pierwszej kategorii jeżeli można go przedstawić w postaci
przeliczalnej
sumy
zbiorów nigdziegęstych
.
Bardziej formalnie, niech (X,τ) będzie
przestrzenią topologiczną
. Powiemy że zbiór jest pierwszej kategorii
Baire'a
w X (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę , gdzie każdy ze zbiorów An jest nigdziegęsty w X (tzn ). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w X będziemy oznaczać przez (albo po prostu przez jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).
Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire'a (lub II kategorii).
Własności
- Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni X tworzą
σ-ideał
podzbiorów X. Każdy zbiór z jest zawarty w pewnym zbiorze
typu Fσ
który też jest pierwszej kategorii.
-
Otwarte
niepuste podzbiory
przestrzeni zupełnej
nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
-
Doskonałe
przestrzenie polskie
wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory
borelowskie
i zbiory pierwszej kategorii: jeśli X,Y są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn wtedy i tylko wtedy gdy ).
- Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.
Przykłady i zastosowanie
- K jest zbiorem pierwszej kategorii, a
- L jest
zbiorem miary zero Lebesgue'a
.
- Aby podać przykład takich zbiorów K,L ustalmy numerację zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest
przeliczalny
.) Dla liczb naturalnych n,m niech będzie
odcinkiem
otwartym o środku w qn i długości 2 − (n + m). Wówczas zbiór jest miary zero, ale jego
dopełnienie
jest pierwszej kategorii.
- Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez
liczby Liouville'a
: zbiór liczb Liouville'a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
- Polski matematyk
Stefan Banach
przedstawił w
1931
następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech będzie przestrzenią wszystkich
funkcji ciągłych
z odcinka [0,1] w zbiór liczb rzeczywistych . Wyposażmy w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez
metrykę
- Wówczas jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór
nie ma
pochodnej
w żadnym punkcie odcinka - Banach udowodnił, że zbiór jest pierwszej kategorii w , czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.
Gra Banacha-Mazura
Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych
gier nieskończonych
rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka
Stanisława Mazura
w Problemie 43 w
Księdze Szkockiej
. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w
1935
.
Niech Z będzie dowolnym podzbiorem . Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonuja nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi . Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty I1 a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału . Kiedy gracze dochodzą do ntego kroku w grze, to mają oni skontruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych . Na ntym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty , a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział .
Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy że Gracz B wygrał partię wtedy i tylko wtedy gdy .
Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy gdy zbiór jest pierwszej kategorii.
Zobacz też